Discussion:Espace de Hilbert

Aide demandée

Existe-t-il un moyen parlant de donner une idée, même très simplifiée, de l'usage d'un espace de Hilbert en mécanique quantique ? Doit-on le considérer comme un espace des possibles comme cela est parfois affirmé dans des hebdomadaires généraux (Point ou Nouvel Obs), ou bien cette vision est-elle erronée ? François-Dominique 2 aoû 2004 à 12:39 (CEST)

Même question. 81.64.199.181 8 juillet 2006 à 20:29 (CEST)

C'est le point de vue de Dirac et von Neumann, qui représente effectivement les états possibles d'un système par un espace de Hilbert. Le produit scalaire est alors vu comme un outil de calcul de probabilités de passage d'un état à un autre.

Les mesures qu'on peut imaginer effectuer (position, vitesse,...) sont représentées par des opérateurs linéaires appelés observables. Les résultats possibles pour une mesure sont les valeurs propres de l'observable, ce qui explique les phénomènes de quanta : si l'espace est de dimension finie par exemple, il n'y a qu'un nombre fini de valeurs propres possibles.

Comme je suis un matheux, il faudrait demander à un physicien de dire tout cela mieux que moi (sur la page mécanique quantique ?) ;) Peps 8 juillet 2006 à 23:28 (CEST)

Caractère

J'ai quelques formules qui s'affichent mal. Convertion en LaTeX? Valvino ^(discuter) 7 octobre 2007 à 23:23 (CEST)

Qu'est ce que $i$ ?

Bonjour. C'est assez extraordinaire d'écrire que « $i$ est le nombre complexe $0+1i$ ». Parce que, bon, je peux dire ça de beaucoup de nombres, complexes ou non, et même de plein d'autres choses (fonctions, ...). Je vais essayer de modifier ça. (Soit $f$ la fonction égale à $0+1f$...) --Tchai 14 octobre 2007 à 16:40 (CEST)

Intro (détails)

Bonjour, deux remarques :

• je trouve que l'une des première phrases : "des cas classiques du plan euclidien de dimension deux et de l'espace euclidien à trois dimensions à des espaces de dimension quelconque" n'est pas facilement lisible, est-ce que quelqu'un a une meilleure formulation ?
• pourquoi "espace vectoriel abstrait" ?

--Roll-Morton (discuter) 10 janvier 2014 à 13:45 (CET)

• "des espaces euclidiens classiques, de dimension deux (plan euclidien) ou trois, à des espaces de dimension quelconque" ?
• en effet

Anne (discuter) 10 janvier 2014 à 15:57 (CET)

J'ai fait une proposition dans l'article, n'hésitez pas à améliorer si vous pensez qu'une autre est meilleure. ---- El Caro ^bla 10 janvier 2014 à 19:14 (CET)

Je trouve ça mieux que ma proposition. Anne (discuter) 10 janvier 2014 à 19:21 (CET)

Chouette merci !--Roll-Morton (discuter) 10 janvier 2014 à 22:30 (CET)

Dimension finie ?

J'ai traduit la partie "exemple introductif" de l'article anglais, mais :

1. Anne Bauval (d · c · b) signale à juste titre que la relation "géométrique" entre le produit scalaire usuel d'une part et les longueurs et angle des vecteurs d'autre part se "mord la queue". Pas forcément trop gênant à mon avis tant qu'on reste dans l'intuitif, les définitions précises pouvant être données par ailleurs.
2. plus gênant peut-être : le cours de Jacques Hartog donné en lien dit qu'un espace de Hilbert est "un espace vectoriel de dimension infinie etc." du coup, l'exemple de l'espace euclidien en 3D n'est plus très pertinent.

Est-ce que tous les auteurs sont d'accord pour parler uniquement de dimension infinie pour un espace de Hilbert ? On pourrait s'en sortir en reprenant l'exemple introductif de Hartog : les polynômes (de dimension finie si on limite le degré, infinie sinon). Inconvénient : c'est moins "géométrique" mais ça a l'avantage de permettre plus facilement le passage dimension finie/infinie (et d'attaquer directement les espaces fonctionnels, qui sont le cœur du sujet à mon avis plutôt que la géométrie). Qu'en pensez-vous, on reprend l'exemple du Hartog ? ---- El Caro ^bla 1 mars 2014 à 20:09 (CET)

Flou / contradiction avec l'article Espace euclidien sur les espaces de dimension finie >3

Cet article laisse entendre que les espaces euclidiens "classiques" sont de dimension 2 ou 3, alors que l'article Espace euclidien explique que la notion s'applique aussi aux espaces de dimension finie supérieure à 3. Quelque chose nécessite une clarification :

• Est-ce que les espaces euclidiens doivent êtres rangés en deux catégories : classiques (2D/3D) et les non classiques (4+D) ?
• Est-ce que cet article a tort quand il dit que les espaces de Hilbert étendent les espaces euclidiens au delà de 3D parce que les espaces 4+D (finies) sont aussi des espaces euclidiens (et donc, il y a recouvrement et non extension) ? Ou alors
• est-ce qu'il faut contester dans Espace euclidien le fait que les extensions à plus de 3 dimensions soient euclidiens ?

-- Camion (discuter) 30 décembre 2017 à 10:20 (CET)

Un espace euclidien peut tout à fait être de dimension N (fini). Je me demande s'il ne serait pas plus simple (et exact) de dire que les EH étendent les espaces euclidiens aux cas des dimensions infinies et aux scalaires non réels. En fait, ce qu'il manque surtout à cet article (et dans beaucoup d'articles de maths !), c'est une section "Historique" pour montrer pour quelles raisons les mathématiciens on généralisé la notion, et montrant au passage quelles sont les différences avec les notions antérieures, leur utilité etc.. --Jean-Christophe BENOIST (discuter) 30 décembre 2017 à 10:43 (CET)

Bonjour. Je n'ai pas vu dans le présent article que l'on laisse entendre que les EE sont de dimensions 2 ou 3, je n'ai pas lu le mot "classique". Ai-je mal lu ? Cordialement. Lylvic (discuter) 30 décembre 2017 à 12:14 (CET)

La 1ère phrase du RI je crois. --Jean-Christophe BENOIST (discuter) 30 décembre 2017 à 12:15 (CET)

Si on parle de « généralise la notion d'espace euclidien (comme le plan euclidien ou l'espace usuel de dimension 3) », Camion en a fait une surinterprétation. Lylvic (discuter) 30 décembre 2017 à 12:19 (CET)

Ah oui, d'accord ! La nouvelle formulation est plus claire sur le point soulevé. Lylvic (discuter) 30 décembre 2017 à 12:21 (CET)

Je ne FAIS pas une surinterprétation. Je dis que le texte manque de précision, ce qui laisse la place à des surinterprétation. On ne/* Et les espaces pseudo euclidiens ? */ peut pas dire qu'on ÉTEND le concept à des espaces de dimension finie, si la notion d'espace euclidien s'applique déjà pour des dimensions finies arbitrairement grandes (En plus, y-a une coquille dans la nouvelle version…) Bon, je vais faire une tentative. -- Camion (discuter) 30 décembre 2017 à 13:10 (CET)

À partir de la version que j'ai mis entre «  », ça aurait été une surinterprétation ; à partir de la version précédente, que vous aviez sous les yeux et modifiée (Ah oui, d'accord !) depuis votre -heureuse- intervention, ça ne l'était pas. C'est ce que suggérait mon intervention précédente, pas assez clairement visiblement. Cordialement. Lylvic (discuter) 30 décembre 2017 à 13:24 (CET)

La nouvelle version ne me satisfait pas, je laisse les connaisseurs se charger de la suite. Cordialement. Lylvic (discuter) 30 décembre 2017 à 20:55 (CET)

Bon, je vois qu' Anne Bauval : a remis une version ambiguë qui laisse entendre sans l'expliciter, qu'il existe des espaces de Hilbert réel de dimension finie qui ne sont pas des espaces euclidiens puisqu'ils en sont une extension (!!!). Ce point a donc toujours besoin d’être clarifié, puisque l'article Espace euclidien stipule qu'au contraire, les espaces euclidiens peuvent etre de dimension finie quelconque. -- Camion (discuter) 31 décembre 2017 à 16:03

Voir http://www.cnrtl.fr/definition/extension. La notion d'espace de Hilbert étend bien (i.e. englobe comme cas particulier) celle d'espace euclidien. Anne, 16 h 12

 Anne Bauval :, Quand on étend, il y a la partie qui était déjà couverte, et la partie qui ne l'était pas encore. Dire que les dimensions finies font partie de l'extension, signifie aussi que les dimensions finies n'étaient pas encore totalement couvertes, ce qui n'est pas clair (puisqu'on peut l'interpréter de deux façons différentes) -- Camion (discuter) 31 décembre 2017 à 16:33 (CET)

Halte au troll svp. Dans le cas (peu vraisemblable) où un lecteur de cet article donnerait à la phrase

« Le concept [...] d'espace de Hilbert [...] étend les méthodes de l'algèbre linéaire en généralisant les notions d'espace euclidien [...] et d'espace hermitien à des espaces de dimension quelconque (finie ou infinie). »

le sens peu naturel que vous lui prêtez (donc ne connaîtrait pas la définition de « espace euclidien »), le lien espace euclidien en tout début du RI le détromperait instantanément. Anne, 16 h 56

Merci de ne pas discréditer les points de vue de vos interlocuteurs par des accusations fallacieuses de troll. L'idée que ce cas soit peu vraisemblable n'est rien d'autre que VOTRE opinion personnelle et au contraire, cette compréhension que vous jugez improbable est celle du langage naturel. Je ne vois pas pour quelle raison (de l'orgueil mal placé ?) vous rejetez une formulation plus claire. Par ailleurs, il n'est pas rare que des articles de cette encyclopédie soient contradictoire. qu'y a-t-il d'erroné à préciser que la partie qui fait l'objet de l'extension, ne couvre que les infinités de dimensions parce que les dimensions en nombres finis sont déjà couverts pas les espaces euclidiens (et hermitiens) ? -- Camion (discuter) 31 décembre 2017 à 18:31

Rien d'erroné dans cette dernière phrase : simple alourdissement inutile, de MON point de vue, en effet différent du VÔTRE mais facilement sourçable. Anne, 18 h 47

ça, ce sont des paroles en l'air : Si vous pouvez sourcer le fait que votre formulation n'est pas ambigue, faites le donc au lieu de dire que vous pouvez le faire. -- Camion (discuter) 31 décembre 2017 à 20:05 (CET)

Et les espaces pseudo euclidiens ?

Cet article ne mentionne pas si des espaces dont les métriques ne sont sont pas définies positives peuvent ou non faire l'objet de cette même extension en espaces de Hilbert. -- Camion (discuter) 31 décembre 2017 à 18:36 (CET)