Discussion:Entier algébrique

A revoir

Cet article ne va pas. J'ai corrigé quelques erreurs les plus évidentes dans les définitions, mais je crois que les exemples doivent venir plus tôt et je ne suis pas convaincue qu'une définition formelle pour commencer est la bonne solution. Avis bienvenus, --Cgolds (d) 17 janvier 2008 à 18:45 (CET)

C'est le moins que l'on puisse dire. Le problème était le même que celui de la théorie de Galois. Inclure dans l'encyclopédie un savoir minimal sur les entiers algébriques demande l'apport de plus d'une dizaine d'articles lourd. J'ai pensé faire quelque chose, mais je suis finalement parti sur autre chose. Tant que la dizaine d'articles satellite n'est pas présent, WP ne contiendra aucune connaissance sérieuse sur ce vaste sujet, à mon avis. Nous sommes alors condamné, soit à remplacer le savoir par des mots qui sonneront creux pour le lecteur intéressé mais pas au fait du sujet, soit à une vision bien naïve. Jean-Luc W (d) 17 janvier 2008 à 19:25 (CET)

Youpi, il va falloir, etc...Je comprends le problème, je voltige en corrigeant des broutilles particulièrement gênantes, mais j'ai un peu de mal à faire une vraie refonte rapidement. Courbe elliptique a encore du chemin à parcourir, par exemple. Bon, j'y retourne ! --Cgolds (d) 17 janvier 2008 à 20:26 (CET)

Fermeture vs. clôture intégrale

En français on distingue entre fermeture et clôture intégrales. La première est l'objet défini au milieu du § "Définitions" (généralisable à un sur-anneau quelconque K de A), la seconde est la fermeture intégrale de A dans son corps des fractions (qui est un sous-corps de K ...) - j'ai donc substitué à clôture: fermeture. Remarque: si la clôture intégrale de A est égale à A, on dit que A est intégralement clos. Il manque encore en français un article sur les anneaux intégralement clos. Voir toutefois ceci. Exemple: tout anneau factoriel est intégralement clos, notamment celui des entiers rationnels. Dans le § sur les entiers d'Eisenstein que j'ai rempli - il était vide -, le lien wiki encore rouge va vers "Fermeture intégrale" parce que dans Anneau de Dedekind il y a le même lien, qui m'a donc servi de modèle. C'est donc en fait un article avec ce nom, contenant la notion d'ann. int. clos, qu'il faudrait faire. A moins de se contenter du passage ci-dessus, auquel cas les liens sont à modifier.)

C'est un peu la même chose qu'avec fermeture vs. clôture algébrique; là aussi, attention aux traductions depuis l'anglais. (Une clôture algébrique d'un corps commut. K est la fermeture algébrique de K dans un surcorps algébriquement clos de K. Un tel surcorps existe toujours, donc une cl. alg. de K et celle-ci est unique à un iso' sur K près.) Je n'ai pas été voir si là aussi des corr. seraient à faire.--Ulysse (alias UKe-CH) (d) 18 janvier 2008 à 23:34 (CET)

J'ai cherché et trouvé les deux usages (phénomènes courants, l'anglicisme devient normal, mais à vrai dire j'ai eu la flemme de chercher quand le vocabulaire se normalise en français ou suisse, en particulier si c'est avant Bourbaki). L'important bien sûr si on veut utiliser clôture aussi dans le premier cas, c'est de préciser le corps de référence. En revanche, je ne suis pas sûre que la distinction soit faire correctement dans anneau et ses dérivés...Les traductions ont souvent été faites par un contributeur particulier (Jim2k)qui ne contribue plus, il semble, et il y a beaucoup, beaucoup, de problèmes (dont le premier est qu'il n'a presque jamais indiqué par un bandeau qu'il s'agit d'une traduction, ce qui viole la license). Bon courage --Cgolds (d) 19 janvier 2008 à 00:07 (CET)

Oups, je n'ai pas suivi, je viens pourtant de vérifier dans le polycopié d'Edixhoven : mon souvenir correspond : la fermeture intégrale est une notion attaché à un corps : la fermeture intégrale d'un corps K est l'anneau de ses entiers algébriques, la clôture intégrale est attaché à un anneau, la clôture intégrale d'un anneau A est la fermeture intégrale de F son corps des fraction. C'est la définition que l'on m'a apprise, et celle que j'ai utilisé cf Cours de maîtrise de mathématiques : Théorie algébrique des nombres. Si une autre définition fait autorité, pas de problème pour reverter. Désolé pour mon action un peu rapide. Jean-Luc W (d) 1 mars 2008 à 01:06 (CET)

• que je me suis permis d'annuler (revert) car ce dont il s'agit ici est en français (par ex. Bourbaki) appelé la fermeture intégrale de Z (censé désigner ici l'anneau des entiers ordinaires, je suppose) dans K - j'ai annulé parce que j'ai pensé que l'on avait affaire ici à quelque chose de plus proche de la clôture que de la fermeture intégrale. Je me rends compte que j'ai mal réfléchi, la modif. de Jean-Luc serait bien une légère amélioration, mais de toute façon le gros morceau reste à faire (on peut utiliser la version annulée par mes soins pour faire une version satisfaisante ...)

Ulysse, Il faut la référence exacte (je n'ai pas l'édition de Bourbaki contenant les définitions de clôture et fermeture intégrale). Pourrais tu avoir la gentillesse de nous donner exactement la définition que propose Bourbaki ? Il faut ensuite analyser plus précisément quels sont les auteurs qui disent quoi pour préciser les différentes définitions utilisées dans la nature. Certains risquent d'avoir appris une convention et d'autres une autre, Si Bourbaki donne une définition différence de Edixhoven, je crains que ni l'un ni l'autre ne corresponde à un cas unique.Jean-Luc W (d) 1 mars 2008 à 11:41 (CET)

Début d'enquête : Fermeture intégrale = ensemble des entiers d'une extension donnée, Clôture intégrale ensemble des entiers du corps des fractions.

1. Sur la finitude de la fermeture intégrale (prend comme référence l'édition de 1961-1965 de Bourbaki, les chapitres de III à VII)
2. Fermeture intégrale et changement de base (considère que la clôture intégrale est la fermeture intégrale de l'anneau des fractions et utilise comme référence La version de Bourbaki de 1954 du chapitre IV algèbre commutative et Grothendick et Dieudonné dans les éléments de géométrie algébrique).
3. Dictionnaire mathématique universel reprend la même définition : Clôture intégrale : étant donné un sous-anneau unitaire A d'un anneau commutatif intègre B, on appelle clôture intégrale de A la fermeture intégrale de A dans son corps des quotients.
4. Daniel Perrin reprend la même définition dans sa géométrie algébrique de 1995 en page 237
5. La Faculté de Jussieu reprend la même convention.

Je ne trouve nulle part d'autres convention sur le net. Il est nécessaire de vérifier précisément si la définition de Bourbaki à changé depuis sa définition de 1965, je commence un peu à douter. Jean-Luc W (d) 1 mars 2008 à 12:41 (CET)

Concernant "Fermeture intégrale = ensemble des entiers d'une extension donnée":

Fondamentalement je ne conteste pas ça, sauf que "extension" doit alors être pris dans le sens de "sur-anneau", d'habitude une extension est un sur-corps (commutatif) d'un corps commutatif donné. Mais il faudrait être précis:
Fermeture intégrale de A dans B (A sous-anneau de B) = (déf.) ensemble des éléments de B entiers entiers sur A (qui est un sous-anneau de B contenant A).
Dire à la place "fermeture intégrale de B" en sous-entendant que A = anneau des entiers ordinaires, me semble contraire à une longue tradition mathématique qui va comme ceci:
une partie X d'un ensemble Y (muni d'une structure) ayant été appelé "fermée" pour certaines "opérations" (on dira par exemple "fermé pour l'addition" - dans un espace métrique, on dira "fermé" tout court pour "fermé pour le passage à la limite de suites infinies d'éléments" d'où dérive la notion topologique de fermé), la fermeture de X (dans Y pour les mêmes opérations) sera en général ce qu'on obtient en appliquant les dites opérations aux éléments de X de toutes les manières possibles, ce qui fournit souvent un (sous-) ensemble fermé pour les mêmes opérations (de Y) contenant X (parfois il faut répéter ce procédé plusieurs fois / indéfiniment voire en une récurrence transfinie pour arriver à un ensemble fermé pour ...). On ne dira pas "fermeture de Y" car si on sous-entend quelque chose, c'est en général bien Y.

Dans les Eléments de Math. de Bourbaki, chap. V de "Algèbre commutative", §1, n°2, la déf.3 dit essentiellement ce que j'écrit plus haut. Mon éd. est de 1964, j'ai commandé à la bibl. du Poly de Zurich (la plus proche de moi) une éd. datant de 1985 pour comparer. Si je n'ajoute rien dans les prochains jours, c'est que Bourbaki n'a rien changé d'essentiel dans sa déf.--Ulysse (alias UKe-CH) (d) 2 mars 2008 à 10:16 (CET)

Vérification faite, l'énoncé de la définition est exactement la même dans l'éd. 1985 !--Ulysse (alias UKe-CH) (d) 6 mars 2008 à 04:13 (CET)

Définitions portants à confusion

Je trouve les définitions d'entiers algébriques bien "confusantes". J'avais appris :

• Un élément b\in B une A algèbre est entier sur A ssil est annulé par un polynome unitaire à coeff dans A (ou plutot a l'anneau image dans B).
• Un élément l\in L une extension de K est algébrique sur K ssil est annulé par un polynome non nul à coefficients dans K (idem). Dans ce cas, l'idéal annulateur est principal et engendré par un unique polynome unitaire qu'on appelle polynome minimal.

Dans le cas où x dans une extension de Q est entier sur Z, alors il admet un plynome minimal dans Q (disons mu) qui doit donc diviser un polynome unitaire a coeff dans Z (disons P). Ceci implique que le polynome minimal est en fait a coeff dans Z (je pense le voire comme suit : dans Q[X] on a P=mu Q et si m (resp m')est le ppcm des dénominateurs intervenant dans mu (resp Q) on voit que mm'P est le produit de deux polynomes primitifs et donc m=1. Peut-on se passer de factorialité ?). Trivialement si un élément algébrique sur Q a un polynome minimal a coeff dans Z il y est entier. Donc effectivement "entier sur Z dans une extension de Q" équivaut à "algébrique sur Q, à polynome minimal en fait dans Z".Alexandre alexandre (d) 9 avril 2010 à 16:58 (CEST)

Oui ce n'est effectivement pas bien présenté. Tu peux corriger. La définition correcte est donnée juste quelques lignes plus bas dans l'article. L'équivalence avec le polynôme minimal entier est énoncée dans Élément entier sans preuve (tu peux compléter). Oui la factorialité est utile. Si tu prends un anneau intègre A de dimension 1 qui n'est pas normal (donc pas factoriel) et un élément dans sa clôture intégral mais pas dans A, alors il est entier sur A, son polynôme minimal sur la corps des fractions est de degré 1 mais n'est pas à coefficient dans A. Ceci dit, la factorialité n'est pas indispensable. Si A est normal de dimension quelconque, avec un tout petit peu de Galois on montre immédiatement que le résultat est vrai (le polynôme minimal sur le corps Frac(A) est à coefficient dans A) pour les extensions séparables. Pour les extensions inséparables il faut un peu tricoter avec les extensions radicielles. Liu (d) 9 avril 2010 à 18:30 (CEST)

ok alors je proposerai ceci (si personne ne se manifeste je le mettrai à la place de l'actuelle partie définition dans 10 jours)

De manière générale, on dit que :

• un élément b d'une A-algèbre B est entier sur A ssil est annulé par un polynome unitaire à coefficients dans A (ou plus rigoureusement à coefficients dans l'anneau image de A dans B).
• Un élément l d'une K-extension L est algébrique sur K ssil est annulé par un polynome non nul à coefficients dans K (même remarque). Dans ce cas, l'ensemble des polynomes qui s'annulent en l est un idéal principal et donc engendré par un unique polynome unitaire qu'on appelle polynome minimal de l.

Dans le cas où $x\in K$ (K une extension de Q) est entier sur Z, alors il admet un plynome minimal dans Q (disons $\mu$) qui doit diviser un polynome unitaire à coefficients dans Z (disons P). Ceci implique que le polynome minimal est en fait à coefficients dans Z. Pour le voir on peut procéder ainsi : dans Q[X] on a une relation $P=\mu Q$ et si m (resp m') est le ppcm des dénominateurs intervenant dans $\mu$ (resp Q) on a alors $mm'P=(m\mu )(m'Q)$. En prenant le contenu on obtient mm'=1 et donc m=1 ce qui montre que $\mu \in \mathbb {Z} [\mathrm {X} ]$. Trivialement si un élément algébrique sur Q a un polynome minimal à coefficients dans Z il y est entier. On vient de montrer "entier sur Z dans une extension de Q" équivaut à "algébrique sur Q, à polynome minimal en fait dans Z[X]", auquel cas on dit d'un tel élément que c'est un entier algébrique de l'extension.

merci pour tes précisions, je vais essayer de le faire si c'est pas dur (ca fait longtemps que j'ai pas fait du galois (autre que identité/cojugaison) et encore plus longtemps que j'ai pas vu des corps de carctéristique positive). A part ça, le latex est vraiment laid sous wikipédia, on pourrait pas tous raler quelque part pour demander à ce que que ce soit plus zoli ? Alexandre alexandre (d) 9 avril 2010 à 22:03 (CEST)

Pour les définitions, pense aussi aux articles existants (taper les mots clef dans la fenêtre Recherche en haut à gauche) et mettre les liens à ces articles. Pour le rendu du latex n'est pas terrible, mais je connais pas les aspects techniques sous-jaccents. Côté rédacteur, cela évite d'apprendre de nouveaux codes quand on est habitué au latex. Le petit exercice avec Galois est assez facile, connaître les conjugaisons suffit. Amuse-toi bien :). Liu (d) 10 avril 2010 à 05:11 (CEST)

ok. J'ai essayé de mettre des liens, mais ils ne pointent pas là où ils le devraient. Du coup je les ai mis sous forme de liens externes ce qui ne doit pas être la bonne solution. Alexandre alexandre (d) 10 avril 2010 à 12:24 (CEST)

J'ai fait les changements nécessaires dans la section de définition. Pour l'exercice galoisien: le polynôme minimal P(T) d'un élément algébrique séparable a est le produit des T-\sigma(a), qui parcourent les conjugués de a. Si a est entier, alors les conjugués de a le sont aussi, donc les coefficients de P(T) sont entiers sur l'anneau de base A. Mais P(T) est à coefficients dans Frac(A), donc ces coefficients sont dans A par hypothèse de normalité de A. Liu (d) 10 avril 2010 à 16:55 (CEST)

Définition et interrogation

J'avoue être décontenancé, et je n'aurais pas cru que la retraite me ferait décrocher si vite (sans même savoir si le décrochement est au niveau mathématique, ou au niveau linguistique). Mais enfin, lorsque je lis dans la définition :

« Un entier algébrique est un nombre complexe annulé par un polynôme unitaire à coefficients dans ${\mathbb {Z} }$. »

je suis perdu… Un nombre annulé par un polynôme ? bigre ! N'aurait-il pas fallu plutôt écrire

« Un entier algébrique est un nombre complexe qui annule un polynôme unitaire à coefficients dans ${\mathbb {Z} }$. »

Je me contenterai, prudemment, de poser la question… Baron de Clappique (d) 10 mai 2013 à 19:29 (CEST)

Dans tous les cas, c'est assez moche, effectivement. Je remplace par une bonne vieille racine qui devrait faire plaisir à tout le monde (le fait est que comme c'est le nombre qui est au centre de l'intérêt ici, « annulé par » est courant)...Amicalement, -- Cgolds (d) 10 mai 2013 à 19:43 (CEST) PS :De toute façon, l'article n'est pas très bon, à rajouter à la liste de ceux à réviser...

Représentation matricielle

Une IP a cru bon, le 16/12/13, de compisser l'anneau des entiers de Q(√5) d'une représentation matricielle. Ça serait à remplacer par un lien vers ici, en rajoutant dans le § Propriétés noethériennes : l'anneau des entiers d'un corps de nombres (et tout sous-anneau) se plonge (de plein de façons) dans un anneau de matrices à coefficients entiers (en choisissant une ℤ-base et en prenant la représentation régulière _{tiens, même là-bas et dans lemme de Yoneda, il n'y a rien sur la représentation régulière d'une algèbre sur un anneau}) mais ça fait plusieurs jours que je cherche en vain une réf. Anne (discuter) 23 janvier 2014 à 20:57 (CET)

que cherches tu exactement ? une référence sur les représentations des algèbres ? Je cherche, j'ai sûrement ça.Cordialement dit. Le tigre à dents de sabre.Claudeh5 (discuter) 10 février 2014 à 22:26 (CET)

« Exactement »  : une réf qui généralise cet ajout du 16/12/13, suffisamment pour que ça devienne intéressant, mais pas excessivement pour que ça reste abordable. Évidemment, c'est subjectif. Anne (discuter) 10 février 2014 à 22:45 (CET)

On trouve beaucoup de réfs pour les algèbres sur un corps, mais pas sur un anneau.

En fait je cherche des réfs qui jugent utile de remarquer que :

• toute A-algèbre associative B possède une représentation naturelle sur le A-module B ;
• si de plus ce module est libre de type fini, n'importe quel choix d'une base de B fournit donc une représentation de B comme une algèbre de matrices à coefficients dans A.

Anne (discuter) 12 février 2014 à 15:35 (CET)

OK, affaire classée faute de sources justifiant l'intérêt de telles remarques. Anne (discuter) 12 février 2014 à 23:01 (CET)