Discussion:Cercle d'Euler

Je ne comprends pas, je n'ai pas l'impression en voyant la figure que le cercle d'Euler passe par le milieu de chacune des trois hauteurs comme il est dit dans l'article.--Jaimie Ann Handson 11 mars 2006 à 12:16 (CET)

Ce n'est qu'une impression ! -- PDebart 2 janvier 2007 à 11:36 (CET)

Effectivement, il y avait confusion entre les médianes et les hauteurs. --PDebart (discuter) 3 mai 2019 à 21:54 (CEST)

Cercle de Terquem

Le cercle d'Euler est un cercle de Terquem particulier mais il a d'autre propriétés. Il est un peu réducteur de donner le même nom aux deux cercles.

PDebart 2 janvier 2007 à 11:36 (CET)

Quadrangle orthocentrique

Les quatre triangles d'un quadrangle orthocentrique ont même cercle d'Euler.

Suppression du commentaire en anglais, il ne semble pas nécessaire de l'introduire dans l'article.

If an orthocentric system of four points is given, then the four triangles formed by any combination of three distinct points of that system all have the same nine-point circle.

• The centers of the incircle and excircles of a corresponding triangle form an orthocentric system. The nine-point circle created for that orthocentric system is the circumcircle of the original triangle. The feet of the altitudes of the triangle formed by that orthocentric system are the vertices of the original triangle.

PDebart (d) 13 avril 2008 à 15:56 (CEST)

Démonstration elliptique

Il me semble que l'affirmation

"Comme cette même homothétie transforme chaque hauteur de $ABC$ en l'une de ses médiatrices, on a également que les pieds des hauteurs de $ABC$ sont sur le cercle d'Euler et que chacun des milieux des segments $[AH]$, $[BH]$ et $[CH]$ sont également sur le cercle d'Euler."

est pour le moins elliptique. Dans mon souvenir,il faut changer d'homothétie pour pouvoir conclure et utiliser en outre les propriétés de l'orthocentre et du cercle circonscrit. Il est possible que quelque chose m'échappe mais pour l'instant je ne vois pas de relation évidente de cause à effet entre

"cette même homothétie transforme chaque hauteur de $ABC$ en l'une de ses médiatrices"

et

"les pieds des hauteurs de $ABC$ sont sur le cercle d'Euler".

Merci de m'éclairer. HB (d) 10 octobre 2008 à 11:24 (CEST)

Deux homothéties

Le cercle des neuf points d'Euler est l'homothétique du cercle circonscrit au triangle dans les homothéties de centre G et de rapport $-{\frac {1}{2}}$ et de centre H et de rapport${\frac {1}{2}}$.

L'homothétie de centre G permet de mettre en place la droite et le cercle d'Euler. C'est celle qui était utilisée dans l'article.

Il ne faut pas la confondre avec l'homothétie de centre H qui permet de trouver les neuf points du cercle d'Euler comme points correspondants du cercle circonscrit.

Modifications avec ajout ont été faites d'après droite et cercle d'Euler ; J'espère que ce n'est pas trop compliqué, j'ai hésité à mettre les démonstrations.

PDebart (d) 12 octobre 2008 à 00:10 (CEST)

Merci, la démonstration initialement proposée me paraissait en effet un peu ... courte. HB (d) 12 octobre 2008 à 08:58 (CEST)

Merci à vous deux : il manquait vraiment quelquechose (j'avoue que j'avais ajouté il y a quelques temps une petite explication mineure à propos de la division harmonique sans y faire attention). Une remarque : on peut déduire du fait que le centre du cercle d'Euler est le milieu de l'orthocentre et du cercle circonscrit, donc sur la médiatrice de la hauteur et de la médiatrice correspondante, que les pieds des hauteurs sont sur le cercle. Une autre : dans la seconde partie les propriétés qui sont transférées du cercle circonscrit au cercle d'Euler se démontreraient aussi directement. En fait, il y a une jolie (et rapide) démonstration dans Coxeter et Greitzer (Redécouvrons la géométrie). En résumé les rectangles (droite des milieux) par ex I_2J_1J_2I_1 et I_2J_3J_2I_3 ont une diagonale commune donc les points sont sur un même cercle de diamètre par ex I_1 J_1, et par ex. H_1 est sur le cercle (triangle rectangle). Mais bien-sûr les démonstrations de l'article à coup d'homothétie apportent d'autres renseignements (à commencer par les propriétés de celles-ci). Proz (d) 12 octobre 2008 à 16:06 (CEST)

Très joli ! Vive Coxeter et Greitzer ! Moi, je me souvenais d'une démonstration analogue à celle développée par Pdebart qui doit être plus classique mais celle que tu exposes en deux phrases est d'une grande puissance. HB (d) 12 octobre 2008 à 16:52 (CEST)

Je n'ai pas compris

Il est écrit "Dans le triangle AHA_1, la droite (ΩI_1) passe par le milieu Ω du diamètre [AA_1] et est parallèle au côté (AH), c'est la droite des milieux du triangle. Le point I_1 est donc le milieu de [HA_1] " Je ne comprends pas le "donc". Je comprends que la droite (\Omega I_1) coupe [HA_1] en son milieu mais c'est tout. A priori on ne sait pas que A_1, I_1 et H sont alignés ? D'ailleurs jusqu'a ce moment on s'est uniquement servi du fait que (\Omega I_1) était perpendiculaire à (BC) et pas que I_1 en était le milieu. Donc on pourrait dire la même chose de tous les points de la droite.

Damned ! Un an que ma modification du texte de Pdebart a fait sauter l'argument décisif : ${\overrightarrow {\Omega I_{1}}}=-{\frac {1}{2}}{\overrightarrow {HA}}={\frac {1}{2}}{\overrightarrow {AH}}$. Merci de l'avoir signalé : je corrige l'article immédiatement. HB (d) 26 novembre 2009 à 16:01 (CET)

Homothéties du triangle médian

Il serait bon de faire un lien explicitant les homothéties entre le triangle et le triangle médian : voir triangle médian. Je n'ai pas trouvé sur WP, mais la page triangle est bien chargée ?

PDebart (d) 28 novembre 2009 à 14:28 (CET)

Article à refondre

Style non encyclopédique, historique à revoir... Voici une référence incontournable ; à incorporer à l'article si possible un jour ou l'autre (bon, y a un problème, là : la référence, c'est MacKay, history of the nine-point circle, que Google me donne aisément, mais la'adresse que j'ai pieusement recopiée ne fonctionne pas...)--Dfeldmann (d) 20 octobre 2011 à 21:57 (CEST)

Ca a l'air de fonctionner à partir d'ici http://journals.cambridge.org/action/displayAbstract?fromPage=online&aid=3133364 ou probablement mieux en passant par le doi http://dx.doi.org/doi:10.1017/S0013091500031163 Proz (d) 20 octobre 2011 à 22:24 (CEST) PS. trouvé en passant par google scholar.

Commentaire déplacé de l'article

J'ai déplacé de l'article ce commentaire que je ne comprends pas d'ailleurs; HB (discuter) 16 mai 2016 à 17:12 (CEST)

Une erreur dans le 2ème dessin; j'avais mis une preuve de 2 lignes sur ce dernier point (non trouvée ailleurs !) et elle a été supprimée ! JMJ

Quelle erreur ?

Il m'a semblé que la démonstration :

En effet, appliquer les Théorème de Pappus aux 6 points A H_2 I_2, B H_1 I_1 et obtenir que la droite (HG) passe par (H_2I_1) inter (H_1I_2) et 2 autres points analogues. JMJ

était un peu hâtive et qu'il vaut mieux utiliser le théorème de Ménélaüs,

PDebart (discuter) 16 mai 2016 à 22:51 (CEST)

Placement J1 J2 J3

Dans le deuxième dessin, File:Cercle Euler.svg, ne faut-il pas placer J1 sur AH au lieu de AG, de même J2 sur BH et J3 sur CH pour être correcte ? Dans File:Triangle cercle euler.png la position de J1 J2 J3 est correcte. -- KlausFoehl (discuter) 28 avril 2019 à 15:48 (CEST)

Lors de la transformation de l'image png vers svg, j'ai fait une confusion entre les médianes et les hauteurs.

Permutation des centres : O centre du cercle d'Euler et Ω centre du cercle circonscrit.

La figure fausse est maintenant rectifiée. --PDebart (discuter) 1 mai 2019 à 22:23 (CEST)

Merci, je l'ai bien noté. Une question: y en a-t-il une lettre standard pour le centre du cercle ? Je vois qu'on utilise O et J et E dans les figures et l'article. -- KlausFoehl (discuter) 2 mai 2019 à 15:41 (CEST)

Modification de l'hexagramme avec les notations conformes au reste de la page.

Personnellement je préfère O pour le centre du cercle circonscrit et Ω pour le centre du cercle d'Euler.

Comment tronquer la nouvelle image ? --PDebart (discuter) 3 mai 2019 à 21:54 (CEST)

- prévoir au moment d'exporter un fichier geogebra en svg de réduire le cadre du dessin - ou alors ouvrir le fichier svg avec inskape - fichier - propriété du document - dimension personnalisée et définir les largeur et la hauteur. HB (discuter) 3 mai 2019 à 22:57 (CEST)