Discussion:Bijection réciproque

intéressant mais des fonctions réciproques classiques tels que ln et exp, ou sin et arcsin,... serait intéressante d etre rajoutée ainsi qu'un lien vers les fonctions circulaires et hyperboliques

dérivée de la réciproque

Plusieurs fois apparait ce type de dmontstration pour la dérivée de la réciproque

La démonstration découle de la dérivée d'une fonction composée :

$f\left(f^{-1}(x)\right)=x$

$f'\left(f^{-1}(x)\right)f^{-1'}(x)=1$

donc

$f^{-1'}(x)={\frac {1}{f'\left(f^{-1}(x)\right)}}$

il serait préférable de ne pas la remettre car elle n'est valide que si on est capable de démontrer par ailleurs que la fonction réciproque est dérivable. Elle ne peut pas servir à démontrer que la fonction réciproque est dérivable. Une démonstration correcte de cette formule est dans dans dérivée#Dérivation de la réciproque d'une fonction. HB (d) 6 février 2009 à 19:31 (CET)

Attention définition

Une application n'est pas forcement une fonction. L'inverse oui.

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Sens d'une redirection

Je suis un peu soufflé de me retrouver en cliquant sur un bijection réciproque sur un article qui envisage les « réciproques multiformes », avec wikilien vers un article qui certes évoque la problématique mais ne contient pas l'expression !

Le principe de moindre surprise dans le titre me semble bafoué... mais je soupçonne qu'il existe peut-être des singularités de l'enseignement secondaire français qui justifient le titre actuel ? Ne vaudrait-il pas mieux inverser la redirection ? Je pose la question et ne modifie rien dans ce coin, je redoute de faire des gaffes. Touriste (d) 14 janvier 2011 à 17:15 (CET)

Je ne comprends pas précisément ta question. Souhaites-tu que cet article se nomme plutôt bijection réciproque ? Es-tu en désaccord avec la petite remarque sur les réciproques multiformes (remarque présente depuis 2004). Le wikilien aurait du être sur le terme de multiforme (synonyme de multivalué). Quant à l'enseignement secondaire français, il est bien loin de cet article. La notion de bijection apparait en TS de manière marginale au moment où on introduit le théorème de bijection (en analyse) et au moment où on définit la similitude comme une transformation (= bijection) conservant les rapports de distance. Cette même pudeur se retrouve pour parler de f^-1 : le terme de bijection réciproque est peu utilisée, on parle de "la réciproque", ou la transformation réciproque. Un renommage cependant ne me choquerait pas car, pour moi, les termes sont synonymes mais il y a peut-être une nuance que tu vois et qui m'échapperait. HB (d) 14 janvier 2011 à 19:33 (CET)

Remords. En relisant l'article, je m'aperçois que, dans sa forme, il n'évoque la bijection que très tard (section 2.1). Si on renomme l'article il faudra aussi en changer la forme, donc est-ce vraiment nécessaire ?HB (d) 14 janvier 2011 à 19:51 (CET)

Oui c'est surtout le titre qui me gêne, et aussi sans doute l'agencement (commencer par un exemple, c'est très bien pour un cours mais franchement bizarre pour un article). Le problème de "multiforme" est un peu secondaire, il correspond au fait que si je devais proposer des sources pour écrire un tel article, je n'en connais que des assez avancées pour parler de ce qui n'est pas bijection. Donc ta remarque sur le plan aussi - si j'y touche ce serait pour assez sérieusement le remanier, au risque de le rendre plus formaliste ; sans doute aussi plus concis mais peut-être moins abordable. Or ceci pourrait ne pas être très consensuel, d'où ma précaution de parler d'abord en page de discussions. De toutes façons, comme j'ai décidé ce jour de "papillonner", peut-être tout cela restera à l'état de velléités. En tous cas, si tu n'as pas trop envie que l'article soit compacté, dis-le, je trouverai mon bonheur en agissant ailleurs. Touriste (d) 14 janvier 2011 à 20:46 (CET)

J'ai souvent remarqué que nous n'avons pas tout-à-fait la même vision de wikipédia (ce qui n'empêche pas en général une contribution fructueuse), je sais que tu aspires à des articles d'un bon niveau, rigoureux et formels alors que je reste plus attachée à présenter une vision plus vulgarisée des notions dans un souci de rester abordable. Il me semble que, sur la bijection réciproque, un bac + 1 en MP n'a pas besoin de lire un article sur le sujet car c'est une notion qu'il maitrise (à moins que tu n'envisages un développement théorique plus important). Quelqu'un qui ignore cette notion est donc quelqu'un dont la culture mathématique est faible et il est peut-être judicieux de la lui présenter simplement. Cependant, je ne suis pas satisfaite de l'article dans son état actuel : il semble fait de bric et de broc et mériterait un toilettage. Je te fais confiance pour une refonte mais je souhaiterais que soit préservé un certain souci d'accessibilité (envisager par exemple une section approche informelle pour parler de défaire ce qu'une fonction f a fait - réduire l'exemple mais sans le supprimer - présenter l'ambiguité de la notation ...).

Contente de te voir "re-papillonner" en math. HB (d) 15 janvier 2011 à 09:11 (CET)

« un bac + 1 en MP n'a pas besoin de lire un article sur le sujet ». Sans vouloir jouer le vieux con qui sait que le niveau baisse, je sais par expérience qu'un bac + 1 à l'Université ne maîtrise pas forcément (litote) la question. Et relative discordance sur le « lire un article » : il ne faut pas oublier qu'une bonne partie des utilisateurs (je parle de ma propre expérience, c'est peut-être trompeur) ne viennent pas pour « lire » les articles mais pour y pêcher la phrase qui répond à la question ponctuelle qu'ils se posent.

Cela étant, pas de désaccord de fond du tout. La bonne solution ce sera sans doute que je fasse des retouches, mais pas sous forme d'une grande refonte d'un seul coup, en agissant par petits morceaux. Comme ça tu auras toujours le temps, le cas échéant, de me dire que tu penses que je fais fausse route sans que ça nous oblige à devoir trancher entre deux versions de l'article très différentes l'une de l'autre. Touriste (d) 15 janvier 2011 à 09:38 (CET)

Pas sûr de bien comprendre la question non plus...

Si c'est l'expression "réciproque multiforme" (qui ne donne rien sur google books) qui gène, on peut l'enlever.

Commencer par un exemple ne me paraît pas gênant, à condition qu'il soit judicieusement choisi. Pourquoi ne pas mettre, en premier paragraphe, le cas de la racine carrée, avec explication et les problèmes que ça pose suivant qu'on travaille dans R+, dans R, ou C voire Z/nZ ? ---- El Caro ^bla 15 janvier 2011 à 11:30 (CET)

Si je reviens, je respecterai l'idée que je n'aime pas de commencer par un exemple, mais pourquoi pas bâtissons de l'existant. Je pensais plutôt traiter d'abord de la racine cubique de R vers R puis de l'absence de racine carrée si on travaille de R vers R et rien de plus - ce n'est pas un cours, c'est un article de références. Mais ça ne peut pas faire de mal de rappeler ce qui est derrière "bijection" au lecteur débutant. Touriste (d) 15 janvier 2011 à 13:42 (CET)

Regrets

Hélas, l'article prend une nouvelle tournure, une tournure plus abstraite...c'était à craindre.

Je ne peux pas, à moi toute seule défendre l'idée d'une approche pédagogique de la notion de réciproque. La fonction simple, facile à défaire (x --> 3x+2) vient d'être remplacée par une fonction tellement difficile à défaire qu'il a fallu inventer et donner un nom à la réciproque. Il est facile de voir qu'en plaçant l'article à ce niveau on perd déjà un grand nombre de lecteurs (il suffit pour s'en convaincre de demander à des non-scientifiques" quelle est la racine cubique de 27?", les réponses sont édifiantes).

Je peux fournir, a postériori, une source pour expliquer le choix qui avait été fait d'une fonction plus simple. Certes, je n'avais pas lu ce livre de Sylviane Gasquet quand j'ai travaillé sur cet article mais je suis contente de voir que je partage sa vision de l'approche pédagogique[1] .

Je ne reviendrai pas sur la nouvelle mouture, car je connais la qualité de son rédacteur, mais je regrette cette propension à écrire des articles lisibles uniquement par ceux qui n'ont pas besoin de les lire., à moins qu'il ne s'agisse d'un optimisme béat sur le niveau mathématique d'un lecteur lambda de l'encyclopédie. Il nous faudrait un autre matheux qui pourrait faire la synthèse entre nos deux tendances. HB (d) 26 janvier 2011 à 15:09 (CET)

Aïe !

Note que je voyais le problème venir, et que c'est pour ça que je vais lentement (et que je sais m'arrêter, même si peut-être une édition trop tard :-)).

Le problème est certainement que nous avons des visions différentes de ce que doit être Wikipédia : centrée sur l'intérêt des lecteurs ou centrée sur l'intérêt des articles, pour schématiser de façon provocatrice.

Du coup la conciliation est difficile, sauf à éviter de participer aux mêmes articles.

En tous cas, à court voire moyen terme, je ne touche plus à rien. Touriste (d) 26 janvier 2011 à 15:35 (CET)

Bon, je m'en suis mélé (le moins possible) en essayant d'améliorer la pédagogie, et en signalant au passage le problème de la confusion avec l'inverse. Si vous n'aimez pas, je pleurerai pas, hein --Dfeldmann (d) 26 janvier 2011 à 17:55 (CET)

Question à propos du théorème d'inversion locale

Bonjour à tous, A propos du théorème d'inversion locale au paragraphe 7, je lis : "Si f est définie sur un intervalle I et si a est un élément de I, si f possède en a une dérivée non nulle alors il existe ...". Cet énoncé me pose problème car j'ai trouvé sur internet ceci : Soit $f:\mathbb {R} \mapsto \mathbb {R}$ la fonction définie par $f(x)=x+x^{2}sin{\frac {\pi }{x}}$ si $x\neq 0$ et $f\,(0)=0$. On voit que f est dérivable en tout x non nul avec $f'(x)=1-\pi \,cos{\frac {\pi }{x}}+2x\,sin{\frac {\pi }{x}}$ et en $\,x=0$ on a $f'(0)=\lim _{h\mapsto 0}{\frac {f(h)-f(0)}{h-0}}=\lim _{h\mapsto 0}(1+h\,sin{\frac {\pi }{h}})=1\neq 0$. Soit alors $]\,-\epsilon ,+\,\epsilon \,[$ un voisinage quelconque de 0. On choisit un entier naturel k tel que ${\frac {1}{2k}}<\epsilon$. On a $f'({\frac {1}{2k}})=1-\pi <0$ et $f'({\frac {1}{2k+1}})=1+\pi >0$. Donc f n'est pas monotone sur ce voisinage et ne peut pas y être inversée. Peut-être quelqu'un peut donner quelques explications. Je pencherais sur le fait qu'il faut que non seulement $f\,'(0)\neq 0$ doit exister mais que la fonction $x\mapsto f\,'(x)$ doit être continue en 0 ce qui n'est pas ici le cas ($\lim _{x\mapsto 0}f\,'(x)$ n'existe pas mais $f\,'(0)$ existe bien et vaut 1). Je ne comprends pas : je cite ce que j'ai lu sur le site http://wapedia.mobi/fr/Application_r%C3%A9ciproque et la discussion a lieu sur cette page de Wikipédia (?) --Lanh (d) 11 février 2011 à 1711:35 (CET)

Pas compris ta dernière phrase avec Wapédia dedans, mais pour ce qui est de la fausseté de l'énoncé de l'article, j'ai compris et tu as raison. C'est un énoncé à piège, et quelqu'un est tombé dans le piège. Touriste (d) 11 février 2011 à 12:35 (CET)

Je ne comprends pas pourquoi mon sujet de discussion se retrouve dans Wikipedia alors que je j'écrivais ma remarque dans Wapedia mais peu importe. J'ai autre chose à dire toujours sur le même sujet : quand on généralise à $\mathbb {R} ^{n}$, je pense que ce n'est pas tant le jacobien de f en a (qui est une matrice carrée) qui ne doit pas être nul mais c'est son déterminant qui doit pas être non nul afin que ce jacobien soit inversible (le jacobien peut être non nul et non inversible). Je propose pour généraliser le texte suivant :

Soient $\,U$ un ouvert non vide de $\mathbb {R} ^{n}$, $f:U\mapsto \mathbb {R} ^{n}$ une fonction de classe ${\mathcal {C}}^{1}$ sur $\,U$ telle qu'en un point $a\in U$ on a $df(a)\neq 0_{{\mathcal {L}}(\mathbb {R} ^{n})}$. Alors il existe un ouvert $V\subset U$ contenant $\,a$ tel que f soit un ${\mathcal {C}}^{1}$difféomorphisme de V sur l'image $\,f(V)$ (autrement dit, $\,f$ est inversible sur $\,V$ et comme $\,f$, son inverse $\,f^{-1}:f(V)\mapsto V$ est aussi de classe ${\mathcal {C}}^{1}$. Il est à noter que la fonction différentielle $\,df$ est une application de $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ dans ${\mathcal {L}}(\mathbb {R} ^{n})$, espace des applications linéaires de $\mathbb {R} ^{n}$ dans $\mathbb {R} ^{n}$. Peut-être peut-on remplacer ${\mathcal {C}}^{1}$ par ${\mathcal {C}}^{k}$ ? Je demande votre avis.

--Lanh (d) 12 février 2011 à 00:55 (CET)

Bon, déjà, le jacobien, c'est bien un déterminant, celui de la matrice jacobienne ; pour le reste je pense que ce n'est pas ici qu'il faut mettre éventuellement des précisions, mais à l'article Théorème d'inversion locale, où je t'engage à poursuivre cette discussion (j'y recopie ton intervention)--Dfeldmann (d) 12 février 2011 à 05:55 (CET)

Oui, effectivement vous avez raison : dans la plupart des sites traitant de cette question, on trouve le terme "jacobien" employé comme synonyme de déterminant jacobien à distinguer donc de "matrice jacobienne". Cependant, on peut lire aussi ce genre de phrases dans des exercices :"Déterminer la jacobienne de la fonction gof au point (x,y,z) en utilisant..." ou bien "...the Jacobian matrix, sometimes simply called "the Jacobian" ...". Les mathématiciens manquent parfois de précision, ce qui est un comble ! Pour rester dans le sujet, il faudrait fournir ici la formule donnant la différentielle $\,d(f^{-1}(f(a))$, un ou deux exemples p as trop banals et la démonstration du théorème d'inversion locale dans le cas général. Si vous pensez que cela présente un intérêt, je peux y réfléchir--Lanh (d) 12 février 2011 à 08:59 (CET)

terme "inverse"

Je ne crois pas que le terme inverse soit un anglicisme. L'exposant -1 et le terme d'inverse sont liés (et -1 n'est pas un anglicisme) et se rapportent à des notions de structure de groupe. — Le message qui précède, non signé, a été déposé par Faune (discuter), le 4 avril 2014 à 11:37‎.

C'est moi qui avais mis ça mais je suis d'accord donc je l'ai viré. Anne (discuter) 5 avril 2014 à 22:17 (CEST)

J'ai précisé ce qui relève d'un anglicisme. J.-P. Martin-Flatin (discuter) 10 août 2020 à 00:16 (CEST)