Discussion:Axiomes de Hilbert

Pourquoi cet article est-il dans la catégorie algèbre bilinéaire? Valvino 19 avril 2007 à 16:05 (CEST)

Je pense que c'est parcequ'il parle de géométrie donc indirectement de produit scalaire... Alors que ce point de vue est justement abandonné par cette approche. Je supprime cette référence.Mû 19 avril 2007 à 16:37 (CEST)

Contexte

Je n'ai pas l'impression que le mot français "assomption" soit correct pour parler d'axiomes. Le mot anglais "assumption" est correct dans un contexte anglophone. Michel421 22 juillet 2007 à 21:31 (CEST) retiré.

assumption = supposition, hypothèse.Claudeh5 16 octobre 2007 à 16:51 (CEST)

Points problématiques

J'ai trouvé une autre formulation il y a quelques divergences :

• l'axiome III1 précise : « AB est congru à AB et BA » cela semble nécessaire
• axiomes IV et V sont permutés
• pas d' "Axiome de Cantor" mais un "axiome d'intégrité" (idem pour la version (en)) (je dirais plutôt un pure méta-axiome de logique math. ... et « notion »  ?) :

Il n'est pas possible d'adjoindre aux trois notions fondamentales de point, droite et plan une autre notion tout en conservant tous les axiomes précédents.

• mais surtout il y a un second énoncé de l'axiome d'archimède (voir la mise en commentaire dans Axiome d'Archimède#L'axiome de continuité) également foireux : « A1,...,An du segment AB » et « B est entre A1 et An ». Aie ! c'est possible en géométrie projective mais pas en géométrie affine (pas de bouclage). Amha, on peut rectifier (pour les deux) en supprimant « A1,...,An du segment AB » et précisant « points distincts » (cela va de soi) ... en partie seulement car la formulation me parait totalement baclée. Ceci pourrait être correct à vue de nez  :

Soient A, B, A₁,...,A_n,... des points d'une droite ; supposons A₁ situé entre A et B ; supposons en outre la congruence des segments AA₁, A₁A₂, ... Cette suite comporte au moins un point A_n tel que B est entre A et A_n.

{{User:STyx/Signature}} 3 octobre 2007 à 19:19 (CEST)

L'axiome de Cantor correspond à l'idée de complétude en France, je ne le traduirais pas par intégrité, en général plus associé à la notion de diviseur de zéro. L'axiome d'Archimède tourne autour du fait que pour tout a et b strictement positif, il existe un entier n tel que n.b est strictement plus grand que a. Cet axiome s'applique à ma connaissance surtout sur les groupes abéliens totalement ordonnés archimédiens. La figure explicative est la suivante : Axiomes de continuité correspondant à la source utilisée pour la rédaction de l'article. Ta formulation est un peu maladroite, on suppose A et B (correspondant au a du groupe, on suppose C et D correspondant au b, alors il existe une suite A₁, A_n qui ne peut être initialement donné, mais construite sur mesure. L'axiome évite en général l'utilisation d'une suite infinie. Jean-Luc W 4 octobre 2007 à 09:37 (CEST)

La première traduction de 1902 utilise "axiome d'intégrité" pour Völlstandigkeit (voir les réf. ajoutées) et l'énoncé est assez curieux effectivement, il dit qu'il n'est pas possible d'ajouter de nouveaux êtres (pas à comprendre comme de nouvelles notions) en satisfaisant les autres axiomes. Il faudrait citer au moins l'axiome original, et son interprétation par Hilbert (Bolzano-Weierstrass dans la trad. française, + existence des coupures de Dedekind dans l'édition 1903). Il serait intéressant d'avoir la traduction et les commentaires de l'édition Rossier. Proz (d) 19 avril 2011 à 23:03 (CEST)

"I.4: [...] Tout plan contient au moins un point."

Merci beaucoup pour votre travail.

Pourquoi Hilbert n'aurait-il pas plutôt spécifié : "au moins trois points" ; cela me semble immédiatement déductible de ce qui précède ... Et si c'est déductible, pourquoi en parler ? Je veux dire en tant qu'axiome, en tant que théorème cela se concevrait mieux, non ?

Cordialement, Didier R. Desbordes

L'objectif de Hilbert est de définir un jeu minimal, c'est à dire que les axiomes doivent être les plus simples possibles et les moins nombreux possibles. Si Hilbert avait écrit Tout plan contient au moins trois points, il aurait utilisé une base axiomatique qui semble moins minimal que celle qu'il a choisi. Cette base axiomatique permet de montrer qu'il existe non seulement trois points mais une infinité dans une droite et donc dans un plan (cf II 2. et II 3.).

Sans cet axiome, l'ensemble vide correspond à la définition d'un plan. Comme cette idée ne correspond pas à notre intuition, Hilbert précise par un axiome que cette configuration n'est pas possible.

C'est gentil d'apprécier le travail des contributeurs. Jean-Luc W (d) 6 juin 2008 à 22:45 (CEST)

Si l'on consulte le texte original ((en) The Foundations of Geometry, on lit I, 7. Upon every straight line there exist at least two points, in every plane at least three points not lying in the same straight line, and in space there exist at least four points not lying in a plane.", c'est à dire : chaque droite contient au moins deux points, chaque plan contient au moins trois points non alignés, et l'espace au moins quatre points. Il semble donc bien que Hilbert ne conçoive pas de plan disposant de moins de trois points ce qui est cohérent avec le fait qu'il associe, dans ses commentaires, la droite et le point à la géométrie plane. On voit par ailleurs mal pourquoi il imposerait 2 points à la droite et seulement 1 au plan. Enfin on constate de nombreuses autres différences dans la formultation axiomatique. Donc de deux choses l'une : ou bien Hilbert a publié une deuxième édition contredisant son texte initial et il serait intéressant que l'article cite cette source pour justifier de la formultation qu'il utilise, ou bien une erreur s'est glissée dans un article (peut-être le wikipedia anglais dont le fil de discussion fait apparaitre le même débat) et elle se propage au fil des traductions et recopie ce qui incite le lecteur a trouver des justifications a posteriori a des axiomes erronés. Je crois donc important que l'auteur de l'article ou toute personne ayant connaissance de la source qui fait foi la fasse connaitre pour lever toute ambiguïté.

--Xphoenix (d) 19 juin 2009 à 11:26 (CEST)XPhoenix

Corrigé. En fait Hilbert s'attache à ce que les groupes d'axiomes soient indépendants, mail il ne cherche pas à être minimal à l'intérieur de ceux-ci. En l'occurrence en faisant appel aux 4 points non coplanaires aux autres axiomes ont doit pouvoir montrer que si un plan contient un point il en contient 3 non alignés (par intersection avec des plans), mais ça n'est pas ce qu'il fait, et ça ne serait pas très modulaire. Par ailleurs il semble bien qu'il y ait des variantes entres les éditions (au vu des traductions qui "fixent" une version). Proz (d) 20 avril 2011 à 00:44 (CEST)

J'ai corrigé trop vite : j'ai pu emprunter la traduction commentée de Rossier, à partir de la 7è édition, c'est bien "tout plan contient au moins un point", et il ajoute la remarque que l'on peut déduire qu'il contient 3 points non alignés de I.8. Je vais rétablir (autant prendre la dernière édition). Ceci dit Rossier précise bien que Hilbert ne cherche pas à donner des axiomes minimaux, mais clairs. Proz (d) 20 avril 2011 à 21:29 (CEST)

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III.4: Soient un angle ABC et une demi-droite B'C' , il existe deux et seulement deux demi-droites, B'D et B'E,tel que l'angle DB'C' est congru à l'angle ABC et l'angle EB'C' est congru à l'angle ABC." L'axiomatique proposées concerne l'espace de dimension 3 Je me trompes peut-être mais je crois qu'il faudrait rédiger cet axiome comme suit : "III.4: Soient un angle ABC et une demi-droite B'C' incluse dans un plan (P), il existe deux et seulement deux demi-droites incluse dans le plan (P), B'D et B'E,tel que l'angle DB'C' est congru à l'angle ABC et l'angle EB'C' est congru à l'angle ABC."

--90.61.10.166 (d) 4 avril 2009 à 13:51 (CEST)christophe Berton

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corrigé. Proz (d) 20 avril 2011 à 01:17 (CEST)

référence déplacée

qui peut être utile ailleurs (fondements des math. plutôt) Proz (d) 19 avril 2011 à 22:27 (CEST)

• (fr) La référence à l’espace et au temps dans le fondement des mathématiques par P. Cassou-Noguès CNRS UMR 8519

Rationnel et réels

L'affirmation de l'article selon laquelle Euclide aurait souhaité construire une géométrie sur les nombres rationnels semble tout à fait erronée. La théorie des proportions exposée au Livre V des Éléments d'Euclide et la méthode d'exhaustion traitent des proportions irrationnelles. Le paragraphe "Nombre et géométrie" semble à éliminer quasi entièrement (y compris le dessin), le paragraphe "Nombre et géométrie chez Hilbert" à revoir. [fait]

Par ailleurs la présentation générale ne semble pas entièrement correspondre au travail de Hilbert, qui n'a pas pour seul ambition de corriger Euclide, il parle d'"analyse logique de notre intuition de l'espace" par exemple. Proz (d) 19 avril 2011 à 23:30 (CEST)

Commentaires

Je note pour mémoire ici ce que je vois à faire, sans chercher à être exhaustif, et quelques remarques.

• Comme je ne m'en suis pas rendu compte tout de suite, je le mets ici : l'article géométrie euclidienne contient deux paragraphes, "Euclide et la rigueur", "La réponse de Hilbert" plus détaillés et plus précis souvent qu'ici, et qui pourraient servir de point de départ (pour le contexte, et le contenu du livre, pas mal à faire dans les deux cas) ;
• Les définitions (et éventuellement théorèmes) nécessaires pour que les axiomes s'expriment sont à introduire en même temps que les axiomes.

Remarques :

• formulation des axiomes : il y a (dans ce que j'ai vu) quelques modif. de façon à éviter justement certaines déf. intermédiaires (mais faut-il être scrupuleusement fidèle à Hilbert ? On ne peut pas non plus copier la traduction Rossier, je suppose, cf. aussi la remarque).
• Géométrie non euclidienne : paragraphe très présent actuellement (à cause des deux dessins peut-être), et quand même aux limites du sujet (même si c'est à mentionner) ;
• Axiomes d'Incidence : c'est ainsi que beaucoup de gens disent maintenant (suite à Geiger 1924 selon ce site http://www.cabri.net/abracadabri/GeoNonE/GNEIntro/HilArsac.htm), ce n'est pas une traduction exacte des termes de Hilbert (les 2 traductions françaises sont différentes) a priori, mais ça me semble quand même plus clair. Proz (d) 8 mai 2011 à 18:35 (CEST) (PS. et j'ai retiré l'évaluation car elle ne me semblait pas avoir grand sens vu ce qui précède).

NEW : Question très naïve, sans doute mais est-ce normal que l'axiome I.2 ("Soient deux points, il n'existe qu'une et une seule droite passant par ces deux points ; i.e. la droite décrite en I.1 est unique.") ne mentionne pas le fait que les deux points en question doivent être distincts ? (non signé, sous ip le 20 octobre 2013)

Erreur (qui a plus de 8 ans !) corrigée. Merci, mais ne pas hésiter à le faire vous même. Proz (discuter) 16 mai 2014 à 19:42 (CEST)

Quelle version ?

La première traduction française du texte de Hilbert est due à Laugel (1900), basée sur la première édition du texte de Hilbert. La deuxième traduction française date de 1971 et est due à Paul Rossier. Elle signale toutes les variantes de toutes les éditions du texte de Hilbert. La traduction anglaise de 1950 est celle de la première édition. Il y a eu dix éditions de l'ouvrage de Hilbert, dont les sept premières de son vivant. Les trois dernières, parues après la mort de Hilbert, contiennent quelques compléments de P. Bernays qui fut un collaborateur de Hilbert de 1917 à 1933. Je ne sais pas à quelle édition ni quelle traduction se rapportent les axiomes de l'article. Par exemple, ceux de axiomes de Hilbert#II. Ordre ne correspondent ni à la traduction française de Laugel ni à celle de Rossier. On note par exemple que la traduction de Laugel aussi bien que la traduction anglaise de 1950 utilise une numérotation de cinq axiomes d'ordre, alors que l'article n'en comporte que quatre. Par ailleurs, au fur et à mesure des dix éditions, plusieurs axiomes sont devenus des théorèmes. Il conviendrait de modifier les axiomes pour les rendre identiques ou bien à la traduction de Faugel, ou bien à celle de Rossier. La première présente l'avantage d'en avoir une version sur Gallica, mais l'inconvénient d'avoir eu une durée de vie très brève, Hilbert ayant commencé à modifier ses axiomes dès 1903. Bref, le texte de Hilbert est un texte qui a beaucoup évolué entre 1900 et 1930. Il faudrait peut-être mettre en évidence cette évolution, mais je n'en ai guère le courage... Cordialement. Theon (discuter) 7 juillet 2015 à 16:51 (CEST)

Ce qui tu écris est en gros décrit dans l'article à la partie "Bibliographie", je l'avais ajouté il y a quelques années quand j'avais entre les mains la traduction Rossier, que je n'ai pas actuellement (un détail : les premières traductions françaises et anglaises anticipent certaines des modifications de la 2nde édition donc ce n'est pas exactement non plus la première édition). les axiomes pourraient venir de la version anglaise ou/et du site web cité en lien externe (Fabien Besnard), mais en partie corrigé de façon assez minimale (par moi) à partir de l'édition Rossier. J'avais modifié ceux de continuité (dans le sens de Hilbert dernières éditions. En relisant l'historique je vois que j'ai repris en partie ceux d'ordre en fonction de l'édition Rossier, mais pas jusqu'au bout d'après ce que tu écris. Je pense qu'il faudrait s'appuyer sur la dernière traduction en Français (Rossier), en signalant éventuellement les variantes antérieures. Une des choses qui m'avait arrêté est de savoir si on peut reprendre le texte exact de Rossier (je ne pense pas l'avoir fait). On pourrait peut-être considérer ça comme de la "citation" et il faudrait alors le signaler. Proz (discuter) 7 juillet 2015 à 17:41 (CEST)

Effectivement, il risque d'y avoir un problème de droits d'auteur, la reprise in extenso de tous les axiomes dans la version de Rossier risquant de dépasser le cadre de la simple citation. Peut-être faut-il alors décrire le rôle des catégories d'axiomes, en donnant quelques exemples, mais sans tous les citer explicitement, quitte à renvoyer le lecteur intéressé à une bibliographie.Theon (discuter) 8 juillet 2015 à 10:39 (CEST)

C'est dommage de ne pas citer les axiomes, je cois que d'autres le font (http://www-cabri.imag.fr/abracadabri/GeoNonE/GNEIntro/Hilbert.htm). On peut aussi adapter ce qui existe (inspiré de Laugier ?) en modernisant les axiomes suivant La dernière version de Hilbert (Bernays n'a pas dû touché aux axiomes) traduite par Rossier. Il me semble aussi qu'il y a besoin un peu d'adaptation car Hilbert donne en même temps de définitions, et peut-être des théorèmes intermédiaires (j'ai oublié), par groupe d'axiomes, et la version de l'article est condensée par endroits. Est-ce qu'on en est si loin, par exemple sur les axiomes d'ordre ? Proz (discuter) 8 juillet 2015 à 18:04 (CEST)

Modèle algébrique des axiomes de Hilbert

Il a été ajouté un paragraphe modèle algébrique des axiomes de Hilbert. Cet ajout me paraît malheureux pour deux raisons. D'abord, le fait qu'un espace affine euclidien de dimension 3 vérifie les axiomes de Hilbert est un fait assez trivial, malgré la longueur du développement. Surtout, l'objectif de Hilbert n'est pas celui-là. Il s'agit pour lui de déterminer des axiomes de la géométrie intrinsèques à ce domaine sans utiliser des notions autres ayant leur propre jeu d'axiomes. Il s'agit également d'étudier les conséquences de la suppression de tel ou tel axiome. Le paragraphe en question me paraît donc hors sujet et je serais favorable à sa suppression, malgré le travail visible fourni par son auteur. Theon (discuter) 13 novembre 2017 à 13:28 (CET)

D'accord avec la première mais pas la 2nde raison : il faudrait parler de modèle, car c'est bien le genre de méthodes que Hilbert utilise pour montrer la cohérence des axiomes (relative), puis pour ses preuves d'indépendance, dans la seconde partie du traité. Parler de modèle des axiomes ne contredit en rien qu que ces axiomes soient intrinsèques. Par contre il est vrai que ça n'a pas besoin d'être aussi détaillé. Il vaudrait mieux décrire ce que fait Hilbert (suivant les éditions), qui se limite d'ailleurs au plan (en précisant qu'il n'y a pas de difficultés à passer à l'espace), manipule des objets plus simples, prend d'abord les nombres constructibles à la règle et au compas, ne se perd pas en détails ... Toute cette seconde partie n'est pas traitée dans l'article, et devrait l'être, mais sans s'appesantir sur l'espace réel euclidien (une phrase chez Hilbert), et surtout pas en détaillant plus que Hilbert ou d'autres (ça ne peut pas être l'objet d'une encyclopédie). Proz (discuter) 15 novembre 2017 à 01:38 (CET)