Dirichlet (homonymie)

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet est un mathématicien allemand du XIX^e siècle dont le travail est surtout en théorie des nombres.

Arithmétique

Plusieurs théorèmes portent son nom :

• Le théorème de la progression arithmétique de Dirichlet détermine que pour tous entiers naturels non nuls a et b premiers entre eux, il existe une infinité de nombres premiers congrus à a modulo b.
• Le théorème des unités de Dirichlet décrit la structure du groupe des unités d'un corps de nombres.
• Le théorème de convergence de Dirichlet pour les séries de Fourier, qui porte parfois également le nom de théorème de Jordan-Dirichlet. Il donne des conditions suffisantes pour qu'une fonction périodique soit la somme de sa série de Fourier.

Fonctions

Des fonctions mathématiques portent son nom :

• Un caractère de Dirichlet est une fonction $\chi \,$ de l'ensemble des nombres entiers dans l'ensemble des nombres complexes.
• Le noyau de Dirichlet est un polynôme trigonométrique qui intervient notamment dans l'étude de la convergence des séries de Fourier.
• Le produit de convolution de Dirichlet ou le produit de Dirichlet est une loi de composition définie sur l’ensemble des fonctions arithmétiques.
• On appelle aussi fonction de Dirichlet la fonction caractéristique de ℚ. C'est une fonction partout discontinue, donnée comme exemple de fonction non intégrable au sens de Riemann. Une variante de cette fonction est la fonction de Thomae.

Plus particulièrement, certaines concernent la fonction zêta de Riemann :

• La série de Dirichlet est la forme générale de la fonction zêta de Riemann.
• La fonction β de Dirichlet est un des exemples les plus simples de fonction zêta de Riemann.
• La fonction êta de Dirichlet est définie à partir de la fonction zêta de Riemann.

Probabilités et Statistiques

• La loi de Dirichlet, souvent notée Dir(α), est une famille de lois de probabilité continues pour des variables aléatoires multinomiales.