Développement (mathématiques)

En mathématiques, le développement d'une expression est un procédé inverse de la factorisation, de portée toutefois plus limitée que celle-ci : alors qu'on parle de factorisation aussi bien pour les nombres entiers que pour les polynômes, par exemple, on ne parle pas de développement des nombres entiers ; cette notion nécessite en effet de travailler dans une algèbre. À l'issue d'un développement, on obtient une forme dite forme développée.

Développement d'un produit de fonctions polynomiales.

Le développement d'une expression se fait comme la factorisation à l'aide des règles de distributivité, utilisées dans l'autre sens :

Règle de base — Si a, b et c sont trois éléments d'un anneau, alors

$a(b+c)=ab+ac\quad {\textrm {et}}\quad (a+b)c=ac+bc$.

Produit de sommes — Si a, b, c et d sont quatre éléments d'un anneau, alors

$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd.$

Cette deuxième règle permet par exemple de trouver la forme développée du polynôme (2x +1)(3x +5) :

$(2x+1)(3x+5)=6x^{2}+10x+3x+5=6x^{2}+13x+5.$

Le développement est toutefois algorithmiquement plus simple que la factorisation, aussi bien à un niveau scolaire que lorsqu'il s'agit de problèmes plus avancés comme le traitement de polynômes à plusieurs indéterminées.

Voir aussi

• Factorisation