Décomposition de Schur

décomposition algébrique de la forme M=UAU*

En algèbre linéaire, une décomposition de Schur (nommée après le mathématicien Issai Schur) d'une matrice carrée complexe M est une décomposition de la forme

M = UAU*

U est une matrice unitaire (U*U = I) et A une matrice triangulaire supérieure.

Démonstration modifier

On peut écrire la décomposition de Schur en termes d'applications linéaires :

Soient   un  -espace vectoriel de dimension   muni d'un produit scalaire et   un endomorphisme sur  , alors   une base orthonormée de   et une famille   telle que  .


Dans le cas où   est l'application nulle, l'énoncé est directement vérifié, on peut donc se contenter de traiter le cas où   est différente de l'application nulle. On démontre par récurrence forte sur la dimension   de   le résultat énoncé. L'initialisation est triviale, pour l'hérédité on considère deux cas différents :

Si la matrice   associée à   dans une base quelconque est diagonalisable, alors on peut choisir   un vecteur propre normé de  . On pose   et on considère l'application linéaire    est le projecteur orthogonal sur   et   la restriction de   à  . Comme   est un endomorphisme de l'espace vectoriel   qui est de dimension  , l'hypothèse de récurrence assure l'existence d'une base orthonormée   de   dans laquelle la matrice   associée à   est triangulaire supérieure. Il est alors clair que   forme une base orthonormée dans laquelle la matrice   associée à   est triangulaire supérieure.

Si la matrice   associée à   dans une base quelconque n'est pas diagonalisable on a l'inégalité  . On pose alors   et on considère l'application linéaire    est le projecteur orthogonal sur   et   la restriction de   à  . Comme   on peut utiliser l'hypothèse de récurrence qui assure l'existence d'une base orthonormée   de   dans laquelle la matrice   associée à   est triangulaire supérieure. On complète cette base en une base orthonormée   de  . Comme  , il est clair que la matrice   associée à   est triangulaire supérieure dans cette même base. Cela termine la récurrence.

Propriétés modifier

Il existe une telle décomposition (non unique en général) pour toute matrice carrée complexe M[1],[2].

A étant semblable à M, elle a les mêmes valeurs propres. Et A étant triangulaire, les valeurs propres se trouvent sur sa diagonale.

Puisque A = U*MU, si M est normale (M*M = MM*) alors A aussi donc (comme elle est de plus triangulaire) elle est diagonale[3]. En particulier, si M est hermitienne (M* = M) alors A est diagonale réelle.

Cas réel modifier

Si une matrice réelle M est trigonalisable, elle possède une décomposition de la même forme avec de plus U et A réelles, autrement dit

M = PA tP

avec P orthogonale et A réelle et triangulaire supérieure.

Si M n'est pas trigonalisable, elle a « presque » une décomposition de cette forme (avec P orthogonale et A réelle) mais où A est seulement triangulaire par blocs, avec des blocs diagonaux de polynôme caractéristique irréductible, donc d’ordre 1 ou 2.

Notes et références modifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Schur decomposition » (voir la liste des auteurs).
  1. (en) Roger A. Horn et Charles R. Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, , 561 p. (ISBN 978-0-521-38632-6, lire en ligne), p. 79 et s.
  2. (en) Gene H. Golub et Charles F. Van Loan, Matrix Computations, Johns Hopkins University Press, , 3e éd., 694 p. (ISBN 978-0-8018-5414-9, lire en ligne), p. 313.
  3. Golub et Van Loan 1996, p. 314.