Cycle limite

Dans le domaine des systèmes dynamiques, un cycle limite, ou cycle-limite sur un plan ou une variété bidimensionnelle est une trajectoire fermée dans l'espace des phases, telle qu'au moins une autre trajectoire spirale à l'intérieur lorsque le temps tend vers $\pm \infty$.

Ces comportements s'observent dans certains systèmes non linéaires. Si toutes les trajectoires voisines approchent le cycle limite lorsque t $\rightarrow +\infty$, on parle de cycle limite stable ou attractif. Si en revanche cela se produit lorsque t $\rightarrow$ $-\infty$, on parle de cycle limite instable ou non attractif.

Les cycles limites stables impliquent des oscillations maintenues. Toute perturbation qui éloignerait la trajectoire du cycle limite s'atténuerait avec le temps, pour revenir à ce cycle limite quand $t\to \infty$.

Cas de l'oscillateur de Van der Pol

Cycle limite de l'oscillateur de Van der Pol.

On peut observer un cycle limite stable pour l'oscillateur de Van der Pol. Toutes les trajectoires tendent à former une figure fermée : le système a tendance à maintenir des oscillations.

Cas général

Le nombre de cycles limites d'une équation différentielle polynomiale fait l'objet de la seconde partie du seizième problème de Hilbert. Le théorème de Poincaré-Bendixson et celui de Bendixson-Dulac (en) prédisent l'existence, respectivement l'absence, de cycles limites pour les équations différentielles non linéaires en deux dimensions.

Cycle limite pour la bifurcation de Hopf, 1: supercritique, 2: sous-critique.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Limit cycle » (voir la liste des auteurs).

• Étienne Ghys, « L'histoire mouvementée des cycles limites », Pour la Science,‎ 2011 (dossier n°73) (lire en ligne)
• (en) Philip Hartman, Ordinary Differential Equations, SIAM, 2002 (lire en ligne)
• (en) Witold Hurewicz, Lectures on Ordinary Differential Equations, Dover, 2002 (lire en ligne)
• (en) Solomon Lefschetz, Differential Equations: Geometric Theory, Dover, 2005
• (en) Lawrence Perko, Differential Equations and Dynamical Systems, Springer-Verlag, 2006
• Lev Pontriaguine, Équations différentielles ordinaires, Mir, Moscou, 1969
• (en) Steven H. Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos, Addison-Wesley, 1994
• (en) M. Vidyasagar (en), Nonlinear Systems Analysis, Prentice Hall, 2002, 2^e éd. (lire en ligne)

Article connexe

Plan de phase