Ces courbes paramétriques à sélectivité variable sont inspirées des courbes de Bézier , mais ont la particularité d'être plus facilement modelable puisque l'on peut faire varier la pondération et le rayon d'influence de chaque point de contrôle.
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Cet article peut contenir un travail inédit ou des déclarations non vérifiées (avril 2024 ).
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Motif : Aucune source
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sources secondaires de qualité , ainsi qu'à
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proposé au débat d'admissibilité un an au plus tard après la mise en place de ce bandeau.
Trouver des sources sur «
Courbe paramétrique à sélectivité/influence variable » :
Conseils utiles à la personne qui appose le bandeau
1.
Préciser le motif de la pose du bandeau.
Précisez le motif de la pose du bandeau en utilisant la syntaxe suivante :
{{admissibilité à vérifier|date=mai 2024|motif=remplacez ce texte par le motif }}
ou
Créer l'espace de discussion.(cette méthode est préférable)
Créez une section "Admissibilité" en page de discussion de l'article en y précisant le motif de la pose du bandeau. Dans ce cas, utilisez la syntaxe suivante :
{{admissibilité à vérifier|date=mai 2024|motif=pdd }}
2.
Informer les utilisateurs concernés.
Pensez à avertir le créateur de l'article, par exemple, en insérant le code ci-dessous sur sa page de discussion :
Première formule et démonstration
modifier
Soit (P 0 ,... , P n ), n+1 points d'un plan ou d'un espace euclidien , on définie alors la courbe
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
= {
∑
k
=
0
n
A
k
n
(
t
)
⋅
P
i
{\textstyle \sum _{k=0}^{n}A_{k}^{n}(t)\cdot \mathbf {P} _{i}}
, t
∈
R
{\displaystyle \in \mathbb {R} }
}, où
A
k
n
(
t
)
=
e
−
π
(
n
+
1
)
2
(
t
−
k
n
)
2
∑
i
=
0
n
e
−
π
(
n
+
1
)
2
(
t
−
i
n
)
2
{\displaystyle A_{k}^{n}(t)={\frac {e^{-\pi \left(n+1\right)^{2}\left(t-{\frac {k}{n}}\right)^{2}}}{\sum _{i=0}^{n}e^{-\pi \left(n+1\right)^{2}\left(t-{\frac {i}{n}}\right)^{2}}}}}
On a
∀
t
∈
R
,
∑
k
=
0
n
A
k
n
(
t
)
=
∑
k
=
0
n
e
−
π
(
n
+
1
)
2
(
t
−
k
n
)
2
∑
i
=
0
n
e
−
π
(
n
+
1
)
2
(
t
−
i
n
)
2
=
1
∑
i
=
0
n
e
−
π
(
n
+
1
)
2
(
t
−
i
n
)
2
⋅
∑
k
=
0
n
e
−
π
(
n
+
1
)
2
(
t
−
k
n
)
2
=
1
{\displaystyle \forall t\in \mathbb {R} ,\sum _{k=0}^{n}A_{k}^{n}(t)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {e^{-\pi \left(n+1\right)^{2}\left(t-{\frac {k}{n}}\right)^{2}}}{\sum _{i=0}^{n}e^{-\pi \left(n+1\right)^{2}\left(t-{\frac {i}{n}}\right)^{2}}}}={\frac {1}{\sum _{i=0}^{n}e^{-\pi \left(n+1\right)^{2}\left(t-{\frac {i}{n}}\right)^{2}}}}\cdot \sum _{k=0}^{n}e^{-\pi \left(n+1\right)^{2}\left(t-{\frac {k}{n}}\right)^{2}}=1}
et
lim
t
→
∞
A
0
n
(
−
t
)
=
lim
t
→
∞
A
n
n
(
t
)
=
1
{\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\mathcal {A_{0}^{n}(-t)}}=\lim _{t\to \infty }{\mathcal {A_{n}^{n}(t)}}=1}
, donc la courbe a comme extrémités P 0 et P n
Représentation des
A
k
n
(
t
)
{\displaystyle A_{k}^{n}(t)}
pour 0
⩽
{\displaystyle \leqslant }
n
⩽
{\displaystyle \leqslant }
8
.
.
.
.
.
.
Courbe paramétrique à 5 points
courbe pour 5 points de contrôles
.
.
.
.
.
.
.
Pondération et rayon d'influence des points
modifier
Variation des
c
k
{\displaystyle c_{k}}
entre 0.05 et 1, tous égaux entre eux
Comme les courbes de Bézier rationnelles , ces courbes paramétrées peuvent être modifiées afin de pondérer chaque point différemment, on pose :
(
c
k
)
0
⩽
k
⩽
n
{\displaystyle (c_{k})_{0\leqslant k\leqslant n}}
le rayon d'action de chaque point
(
b
k
)
0
⩽
k
⩽
n
{\displaystyle (b_{k})_{0\leqslant k\leqslant n}}
le poids de chaque point.
Alors;
A
k
n
(
t
)
=
b
k
e
−
π
c
i
(
n
+
1
)
2
(
t
−
k
n
)
2
∑
i
=
0
n
b
i
e
−
π
c
i
(
n
+
1
)
2
(
t
−
k
n
)
2
{\displaystyle {\mathcal {A_{k}^{n}(t)}}={\frac {b_{k}e^{-\pi c_{i}\left(n+1\right)^{2}\left(t-{\frac {k}{n}}\right)^{2}}}{\sum _{i=0}^{n}b_{i}e^{-\pi c_{i}\left(n+1\right)^{2}\left(t-{\frac {k}{n}}\right)^{2}}}}}