Courant de probabilité

En mécanique quantique, le courant de probabilité est un concept décrivant le flux de densité de probabilité, de façon similaire à la loi de conservation de la charge électrique en électrodynamique. Intuitivement, elle indique que lorsque la densité de probabilité dans un volume fixé varie dans le temps, alors il doit exister un flux de densité de probabilité à travers les parois de ce volume. La notion de courant de probabilité permet de décrire ce flux de probabilité.

Définition modifier

La densité de probabilité satisfait une condition de conservation locale. En notant   le courant de probabilité, cette condition de conservation locale (aussi appelée équation de continuité) se note :

 

avec   la fonction d'onde représentant l'amplitude de probabilité et, par définition,  , la densité de probabilité. Cette condition est satisfaite pour une propagation libre si l'on définit   comme suit :

 

Du théorème de la divergence, on a (en partant de l'équation de continuité) que :

 

avec   un volume (fixé),   le bord de ce volume et   le vecteur normal à la surface.

Explicitement cette dernière relation signifie que le courant de probabilité passant à travers une surface (fermée) est égal à la diminution en probabilité de trouver la particule dans le volume borné par cette surface.

Opérateur courant de probabilité modifier

Le courant de probabilité apparait comme la valeur moyenne de l'opérateur courant de probabilité suivant :

 

  est l'opérateur vitesse (qui n'est pas toujours égal à l'opérateur impulsion).

  est donc l'opérateur symétrique qui correspond au produit de la densité de probabilité de présence et de la vitesse.

Démonstration de l'équation de continuité modifier

On suppose que   est la fonction d'onde correspondant à l'amplitude de probabilité d'une particule (dans l'espace des positions). La probabilité de trouver la particule dans un certain volume   est donnée par :

 

en prenant la dérivée temporelle de cette probabilité et en utilisant la règle de Leibniz pour la dérivée d'une intégrale paramétrique, on a :

 

L'équation de Schrödinger donne :

 

avec m la masse de la particule,   le laplacien et V un potentiel (une fonction réelle).

En prenant le complexe conjugué, on a aussi :

 

et en utilisant ces deux dernières équations, on a

 

Cependant, on peut réécrire

 

en effet la règle du produit donne :

 

et le deuxième et le dernier terme se simplifient. Finalement, en définissant   par

 

on a :

 

et donc :

 

État stationnaire modifier

Supposons que le potentiel   du système soit indépendant du temps, il existe alors un ensemble complet d'états (vecteurs propres de l’hamiltonien) ayant la forme suivante :

 

où la fonction   satisfait l'équation de Schrödinger indépendante du temps :

 

Pour n'importe quel état stationnaire, la densité de probabilité est stationnaire, en effet,

 

et comme   est indépendante du temps,  . Par conséquent,  . De manière plus intuitive, on a :

 

ce qui signifie que le flux total de densité de probabilité à travers n'importe quelle surface fermée est nul. Par ailleurs, l'expression du courant de probabilité pour l'état n se simplifie :

 

Exemples modifier

Onde plane modifier

L'amplitude de probabilité d'une onde plane tridimensionnelle représentée par :

 

avec   le vecteur d'onde,   le vecteur position et   la fréquence angulaire.

le gradient de la fonction est donné par :

 

on obtient le gradient de la fonction complexe conjuguée de manière similaire et finalement :

 

avec   la vitesse de la particule. On a utilisé la relation   avec   l'impulsion de la particule.

Remarquons que le courant de probabilité n'est pas nul même si la densité de probabilité   est indépendante du temps.

Particule dans une boîte modifier

Les états stationnaires d'une particule dans une boîte de dimension   ont une fonction d'amplitude définie par :

 

avec

 

et on a :

 

puisque  .

Définition dans un champ extérieur modifier

La définition doit être modifiée pour un système dans un champ électromagnétique extérieur. Par exemple, pour une particule de charge q, l'équation de Schrödinger indépendante du temps qui satisfait une invariance locale de jauge est donnée dans l'espace des positions avec un hamiltonien de couplage minimal par :

 

avec   l'opérateur impulsion,   est un potentiel vecteur et   est un paramètre caractérisant la jauge. Par exemple,   correspond à la jauge de vitesse tandis que   correspond à la jauge de longueur.

Si on remplace   par  , il est aisé de dériver l'équation de continuité avec un courant de probabilité défini par :

 

Références modifier

Voir aussi modifier

Bibliographie modifier