Cosinus intégral

La fonction cosinus intégral, notée $\operatorname {Ci}$, est définie par l'intégrale :

Cosinus intégral

Tracé de $\operatorname {Ci} (x)$ pour $0\leqslant x\leqslant 25$.

Notation	$\operatorname {Ci} (x)$
Dérivée	${\frac {\cos(x)}{x}}$
Primitives	$x{\rm {Ci}}(x)-\sin(x)+{\text{cte}}$

Principales caractéristiques

Ensemble de définition	$\mathbb {R} ^{+*}$
Ensemble image	$\left]-\infty ;{\frac {\pi }{2}}\right]$

Valeurs particulières

Valeur en zéro	$\lim _{x\to 0}\operatorname {Ci} (x)=-\infty$
Limite en +∞	0
Maxima	${\frac {\pi }{2}}$

Particularités

Asymptotes	$y=0$

$\forall x>0,\ \mathrm {Ci} (x)=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\cos(t)}{t}}\,\mathrm {d} t$ où la fonction $\cos$ est la fonction cosinus.

Propriétés

• La fonction est continue, infiniment dérivable sur $\mathbb {R} ^{+*}$, et $\forall x\in \mathbb {R} ^{+*},\ \mathrm {Ci} '(x)={\frac {\cos(x)}{x}}$
• $\lim _{x\to +\infty }\mathrm {Ci} (x)=0$
• $\lim _{x\to 0}\mathrm {Ci} (x)=-\infty$
• La fonction $\operatorname {Ci}$ admet le développement suivant sur $\mathbb {R} ^{+*}$ :$\forall x\in \mathbb {R} ^{+*},\ \mathrm {Ci} (x)=\gamma +\ln(x)+\sum _{n=1}^{+\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!(2n)}}$ où $\gamma$ est la constante d'Euler-Mascheroni. Ce développement permet d'étendre la fonction $\operatorname {Ci}$ en une fonction analytique définie sur tout le plan complexe privé de la demi-droite des réels négatifs. La somme de la série vaut également $\int _{0}^{x}{\frac {\cos(t)-1}{t}}\,\mathrm {d} t$.
• Les primitives de Ci sont de la forme :

$\int {\rm {Ci}}(x){\rm {d}}x=x{\rm {Ci}}(x)-\sin(x)+k,k\in \mathbb {R}$.

Voir aussi

• Exponentielle intégrale
• Logarithme intégral
• Sinus intégral

Bibliographie

• Abramowitz et Stegun, Handbook of Mathematical Functions.
• (en) Eric W. Weisstein, « Cosine Integral », sur MathWorld