Coordonnées elliptiques

En géométrie, le système de coordonnées elliptiques est un système de coordonnées orthogonales à deux dimensions, dans lequel les lignes de coordonnées sont des ellipses et des hyperboles confocales. Les deux foyers et sont généralement considérés comme fixés à et , respectivement, sur l'axe des du système de coordonnées cartésiennes.

Système de coordonnées elliptiques

Définition

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La notation la plus courante des coordonnées elliptiques   est :

 

  est un nombre réel positif et  

Sur le plan complexe, une relation équivalente est :

 .

Ces définitions correspondent aux ellipses et aux hyperboles. L'identité trigonométrique :

 

montre que les courbes à   forment des ellipses, tandis que l'identité trigonométrique hyperbolique :

 

montre que les courbes à   forment des hyperboles.

Lien avec les coordonnées polaires

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Si l'on pose   et qu'on fait tendre   vers  ,   et   tendent vers   et   : les coordonnées elliptiques tendent vers les coordonnées polaires (de distance radiale   et d'angle polaire  ), les ellipses confocales deviennent des cercles concentriques et les hyperboles des droites passant par l'origine.

Facteurs d'échelle

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Dans un système de coordonnées orthogonales, les longueurs des vecteurs de base sont appelées facteurs d'échelle. Les facteurs d'échelle pour les coordonnées elliptiques   sont égaux à :

 .

En utilisant les identités à double argument pour les fonctions hyperboliques et les fonctions trigonométriques, les facteurs d'échelle peuvent être exprimés de manière équivalente comme :

 .

Par conséquent, un élément infinitésimal de surface est égal à :

 

et le laplacien s'écrit :

 .

D'autres opérateurs différentiels tels que   et   peut être exprimé dans les coordonnées   en substituant les facteurs d'échelle dans les formules générales trouvées en coordonnées orthogonales.

Voir aussi

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Bibliographie

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Articles connexes

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