Conjugué isotomique

En géométrie, le conjugué isotomique d’un point P par rapport à un triangle ABC est un autre point défini par rapport à P et ABC.

Construction

On considère un triangle ABC et un point P qui n'appartient pas aux droites (AB), (AC) et (BC). Les droites (PA), (PB) et (PC) rencontrent les côtés BC, AC et AB respectivement aux points A', B' et C'. On construit les points A'', B'' et C'', symétriques respectifs de A' par rapport au milieu de BC, B' par rapport au milieu de AC, et C' par rapport au milieu de AB. Les droites (AA''), (BB'') et (CC'') sont concourantes (c'est le théorème de Ceva) en un point qui est le conjugué isotomique de P par rapport au triangle ABC.

Existence du conjugué isotomique

Les droites (AA'), (BB') et (CC') sont concourantes. D'après le théorème de Ceva :

${\frac {AC'}{C'B}}\cdot {\frac {BA'}{A'C}}\cdot {\frac {CB'}{B'A}}=1$.

Or, comme A'', B'' et C'' sont les symétriques de A', B' et C' par rapport aux milieux des côtés, on obtient :

$AC'=BC'';C'B=C''A;BA'=CA'';A'C=A''B;CB'=AB'';B'A=B''C$

En remplaçant les anciennes valeurs par les nouvelles dans la relation ci-dessus :

${\frac {BC''}{C''A}}\cdot {\frac {CA''}{A''B}}\cdot {\frac {AB''}{B''C}}=1$.

D'après la réciproque du théorème de Ceva, (AA''), (BB'') et (CC'') sont bien concourantes.

Coordonnées

Si les coordonnées trilinéaires de P sont p : q : r, alors celles de son conjugué isotomique sont a⁻²p⁻¹ : b⁻²q⁻¹ : c⁻²r⁻¹,

Si les coordonnées barycentriques de P sont p : q : r, alors celles de son conjugué isotomique sont 1/p: 1/q: 1/r, ou, de façon équivalente (en multipliant les coefficients par pqr) qr : pr : pq.

Propriétés

• Le conjugué isotomique du centre de gravité est lui-même.
• Le conjugué isotomique du point de Lemoine (point de concours des symédianes d'un triangle) est le troisième point de Brocard.
• Le conjugué isotomique du point de Gergonne est le point de Nagel.
• Le conjugué isotomique d'une droite est une conique circonscrite au triangle. Par exemple, le conjugué isotomique de la droite d'Euler est l'hyperbole de Jerabek. Plus précisément, le type de conique dépend de l'ellipse circonscrite de Steiner du triangle :
  • si la droite ne traverse pas l'ellipse, le conjugué isotomique est une ellipse
  • si la droite est tangente à l'ellipse, le conjugué isotomique est une parabole
  • si la droite traverse l'ellipse, le conjugué isotomique est une hyperbole ; elle sera équilatère si et seulement si la droite passe par le conjugué isotomique de l'orthocentre

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Isotomic conjuguate » (voir la liste des auteurs).
• (en) Eric W. Weisstein, « Isotomic Conjugate », sur MathWorld
• (en) P. H. Daus, « Isogonal and Isotomic Conjugates and Their Projective Generalization », The American Mathematical Monthly, vol. 43, n^o 3,‎ mars 1936, p. 160-164 (DOI 10.2307/2300358)
• (en) Steve Sigur, « Where are the Conjugates? », Forum Geometricorum, vol. 5,‎ 2005, p. 1–15 (lire en ligne)