Collapse (topologie)

En topologie, un collapse (litt. « effondrement ») transforme un complexe simplicial en un sous-complexe de même type d'homotopie. Les collapses ont été introduits par le mathématicien J. H. C. Whitehead^[1].

Définition

Soit $K$ un complexe simplicial abstrait. Un collapse est la suppression de tous les simplexes $\gamma \in K$ tels que $\tau \subseteq \gamma \subseteq \sigma$ où $\sigma$ est l'unique face maximale de $K$ contenant $\tau$ (on dit que $\tau$ est une face libre). Si $\dim \tau =\dim \sigma -1$ , on parle de collapse élémentaire^[2].

Un complexe simplicial ayant une séquence de collapses aboutissant à un point est dit collapsible. Tout complexe collapsible est contractile (c'est-à-dire homotopiquement équivalent à un point) mais la réciproque est fausse, la house with two rooms (en) de R. H. Bing en constituant un contre-exemple.

Les collapses peuvent être étendus aux CW-complexes^[3].

Notes et références

↑ (en) J. H. C. Whitehead, « Simplicial Spaces, Nuclei and m-Groups », Proceedings of the London Mathematical Society, vol. s2-45, n^o 1,‎ 1939, p. 243–327 (ISSN 1460-244X, DOI 10.1112/plms/s2-45.1.243, lire en ligne, consulté le 6 juin 2021)
↑ (en) Herbert Edelsbrunner et John Harer, Computational Topology: An Introduction, American Mathematical Soc., 2010 (ISBN 978-0-8218-4925-5, lire en ligne), p. 84-85
↑ (en) M. M. Cohen, A Course in Simple-Homotopy Theory, Springer Science & Business Media, 6 décembre 2012, 116 p. (ISBN 978-1-4684-9372-6, lire en ligne)

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[1] (en) J. H. C. Whitehead, « Simplicial Spaces, Nuclei and m-Groups », Proceedings of the London Mathematical Society, vol. s2-45, n^o 1,‎ 1939, p. 243–327 (ISSN 1460-244X, DOI 10.1112/plms/s2-45.1.243, lire en ligne, consulté le 6 juin 2021)

[:0-2] (en) Herbert Edelsbrunner et John Harer, Computational Topology: An Introduction, American Mathematical Soc., 2010 (ISBN 978-0-8218-4925-5, lire en ligne), p. 84-85

[3] (en) M. M. Cohen, A Course in Simple-Homotopy Theory, Springer Science & Business Media, 6 décembre 2012, 116 p. (ISBN 978-1-4684-9372-6, lire en ligne)

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