Classification ADE

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En mathématiques, la classification ADE est la liste complète des groupes de Lie simplement lacés ou d'autres objets mathématiques satisfaisant des axiomes analogues. La liste est la suivante :

(A_{n})_{n\geq 1},\ (D_{n})_{n\geq 4},\ E_{6},\ E_{7},\ E_{8}

.

Dans cette liste, l'indice du symbole est appelé le rang.

Ici $A_{n}$ correspond aux groupes spéciaux unitaires $SU(n+1)$ , $D_{n}$ aux groupes orthogonaux $SO(2n)$ , alors que E₆, E₇ et E₈ sont trois groupes de Lie compacts exceptionnels.

Les sous-groupes discrets de $SU(2)$ sont aussi classifiés par la même liste. Le quotient du plan complexe ℂ² par l'action d'un sous-groupe discret G de $SU(2)$ est une variété singulière (plus précisément un orbifold) dont la singularité à l'origine est dite singularité du type ADE correspondant.

La nomenclature A, D, E est partagée par les groupes finis de Coxeter, ainsi que la théorie des catastrophes. Il y a une grande relation entre les trois.

Cette liste est la liste des singularités rigides de fonctions complexes.

Cette liste est la liste des groupes de Coxeter finis dont le diagramme de Coxeter n'a que des arêtes simples.

Cette liste apparait aussi comme la liste des carquois ayant un nombre fini de modules indécomposables à isomorphisme près.

Références modifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « ADE classification » (voir la liste des auteurs).
(en) A Rapid Introduction to ADE Theory, John McKay

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