Antiparallèle (mathématiques)

En géométrie, des droites anti-parallèles peuvent être définies par rapport aux lignes ou aux angles.

Définitions

Étant donné deux droites $m_{1}$ et $m_{2}$, les droites $l_{1}$ et $l_{2}$ sont dites anti-parallèles par rapport à $m_{1}$ et $m_{2}$ si $\angle 1=\angle 2$ sur dans la figure 1. De plus, si $l_{1}$ et $l_{2}$ sont anti-parallèles par rapport à $m_{1}$ et $m_{2}$, alors $m_{1}$ et $m_{2}$ sont également anti-parallèles par rapport à $l_{1}$et $l_{2}$.

Dans tout quadrilatère inscriptible, deux côtés opposés sont anti-parallèles par rapport aux deux autres côtés (figure 2).

Deux droites $l_{1}$ et $l_{2}$ sont antiparallèles à un angle si et seulement s'ils font le même angle en sens opposés avec la bissectrice de cet angle (figure 3).

Fig.1: $l_{1}$et $l_{2}$ sont anti-parallèles par rapport à $m_{1}$ et $m_{2}$ si $\angle 1=\angle 2$.

Fig.2: Dans tout quadrilatère cyclique, deux côtés opposés sont anti-parallèles par rapport aux deux autres côtés.

Fig.3: Notez que les angles précédents 1 et 2 sont toujours égaux.

Vecteurs antiparallèles

Dans un espace euclidien, deux vecteurs, sont antiparallèles s'ils sont supportés par des droites parallèles et ont des sens opposés. Dans ce cas, l'un des vecteurs est le produit de l'autre par un scalaire négatif.

Relations

1. La droite joignant les pieds de deux hauteurs d’un triangle est antiparallèle au côté opposé.
2. La tangente à un cercle circonscrit à un sommet est antiparallèle avec le côté opposé.
3. Le rayon du cercle circonscrit à un sommet d'un triangle est perpendiculaire à toutes les droites étant antiparallèle avec le côté opposé.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Antiparallel (mathematics) » (voir la liste des auteurs).

Sources

• AB Ivanov, Encyclopédie de Mathématiques - (ISBN 1-4020-0609-8)
• (en) Eric W. Weisstein, « Antiparallel », sur MathWorld