L'annuité constante est le remboursement périodique d'un emprunt avec les intérêts par un montant constant, qui est calculé en fonction du taux d'intérêt et de la durée de l'emprunt selon une formule mathématique. Une annuité constante peut désigner aussi à l'inverse un versement à intervalle régulier d'une même somme pour un placement échelonné.
L'annuité constante d'un emprunt
modifier
La formule du taux d'annuité constante
modifier
E
{\displaystyle E}
étant la valeur du capital emprunté ou emprunt,
i
{\displaystyle i}
le taux d'intérêt sur la période,
n le nombre de périodes pour le remboursement
La valeur de l'annuité constante versée par l'emprunteur est :
A
=
E
×
i
1
−
(
1
+
i
)
−
n
{\displaystyle A=E\times {i \over 1-(1+i)^{-n}}}
Le taux d'annuité constante est :
a
=
i
1
−
(
1
+
i
)
−
n
{\displaystyle a={\frac {i}{1-(1+i)^{-n}}}}
Exemple d'un échéancier
modifier
Pour un prêt à remboursement par annuité constante de 160 000 sur 5 ans à un taux de 1.2 % (
E
{\displaystyle E}
=160 000, n =5,
i
{\displaystyle i}
=1.2%) :
1re année
2e année
3e année
4e année
5e année
total
annuités constantes
33161,16
33161,16
33161,16
33161,16
33161,16
165805,80
amortissements
31241,16
31616,05
31995,45
32379,39
32767,95
160000
intérêts
1920
1545,11
1165,71
781,77
393,21
5805,80
L'amortissement étant la partie du prêt remboursée chaque année (annuité = amortissement + intérêt).
Comparaison avec un prêt à remboursement par amortissement constant de 160 000 sur 5 ans à un taux de 1.2 % :
1re année
2e année
3e année
4e année
5e année
total
annuités
33920
33536
33152
32768
32384
165760
amortissements constants
32000
32000
32000
32000
32000
160000
intérêts
1920
1536
1152
768
384
5760
Démonstration de la formule
modifier
L'emprunteur doit verser l'annuité constante
A
{\displaystyle A}
jusqu'à remboursement au temps prévu. Les intérêts sont calculés sur ce qui reste à rembourser multiplié par
i
{\displaystyle i}
. Ils vont donc en s'amenuisant. Les remboursements de l'emprunt vont à l'inverse en augmentant.
Échéances
Emprunt - Restant dû
Intérêts
Amortissements (Remboursements)
Annuités
0
E
=
E
0
{\displaystyle E=E_{0}}
1
E
1
=
E
0
−
R
1
=
E
0
+
I
1
−
A
=
E
0
(
1
+
i
)
−
A
{\displaystyle E_{1}=E_{0}-R_{1}=E_{0}+I_{1}-A=E_{0}(1+i)-A}
I
1
=
i
E
0
{\displaystyle I_{1}=iE_{0}}
R
1
=
E
0
−
E
1
=
A
−
I
1
{\displaystyle R_{1}=E_{0}-E_{1}=A-I_{1}}
A
{\displaystyle A}
⠇
⠇
⠇
⠇
⠇
k
{\displaystyle k}
E
k
=
E
k
−
1
−
R
k
=
E
k
−
1
+
I
k
−
A
=
E
k
−
1
(
1
+
i
)
−
A
{\displaystyle E_{k}=E_{k-1}-R_{k}=E_{k-1}+I_{k}-A=E_{k-1}(1+i)-A}
I
k
=
i
E
k
−
1
{\displaystyle I_{k}=iE_{k-1}}
R
k
=
E
k
−
1
−
E
k
=
A
−
I
k
{\displaystyle R_{k}=E_{k-1}-E_{k}=A-I_{k}}
A
{\displaystyle A}
⠇
⠇
⠇
⠇
⠇
n
{\displaystyle n}
E
n
=
E
n
−
1
−
R
n
=
0
{\displaystyle E_{n}=E_{n-1}-R_{n}=0}
I
n
=
i
E
n
−
1
{\displaystyle I_{n}=iE_{n-1}}
R
n
=
E
n
−
1
=
A
−
I
n
{\displaystyle R_{n}=E_{n-1}=A-I_{n}}
A
{\displaystyle A}
E
0
=
E
,
E
k
+
1
=
E
k
(
1
+
i
)
−
A
.
{\displaystyle E_{0}=E{\text{ , }}E_{k+1}=E_{k}(1+i)-A.}
(
E
k
)
{\displaystyle (E_{k})}
est donc une suite arithmético-géométrique que l'on peut par translation ramener à une suite géométrique :
F
k
=
E
k
−
P
,
E
k
=
F
k
+
P
{\displaystyle F_{k}=E_{k}-P,E_{k}=F_{k}+P}
F
k
+
1
=
E
k
+
1
−
P
=
E
k
(
1
+
i
)
−
A
−
P
=
(
F
k
+
P
)
(
1
+
i
)
−
A
−
P
=
F
k
(
1
+
i
)
+
P
(
1
+
i
)
−
A
−
P
{\displaystyle F_{k+1}=E_{k+1}-P=E_{k}(1+i)-A-P=(F_{k}+P)(1+i)-A-P=F_{k}(1+i)+P(1+i)-A-P}
Pour
P
(
1
+
i
)
−
A
−
P
=
0
⇔
P
=
A
i
⇔
P point fixe,
P
=
P
(
1
+
i
)
−
A
{\displaystyle P(1+i)-A-P=0\Leftrightarrow P={\frac {A}{i}}\Leftrightarrow {\text{P point fixe, }}P=P(1+i)-A}
,
(
F
k
)
est géométrique
:
F
0
=
E
0
−
A
i
,
F
k
+
1
=
F
k
(
1
+
i
)
{\displaystyle ~(F_{k}){\text{ est géométrique }}:F_{0}=E_{0}-{\frac {A}{i}},F_{k+1}=F_{k}(1+i)}
On cherche
A
{\displaystyle A}
tel que
E
n
=
0
{\displaystyle E_{n}=0}
F
n
=
E
n
−
A
i
=
−
A
i
=
F
0
(
1
+
i
)
n
=
(
E
0
−
A
i
)
(
1
+
i
)
n
⇒
A
=
E
0
×
i
1
−
(
1
+
i
)
−
n
{\displaystyle F_{n}=E_{n}-{\frac {A}{i}}=-{\frac {A}{i}}=F_{0}(1+i)^{n}=(E_{0}-{\frac {A}{i}})(1+i)^{n}\Rightarrow A=E_{0}\times {\frac {i}{1-(1+i)^{-n}}}\qquad }
[ 1]
cqfd.
La formule des remboursements
modifier
La suite
(
R
k
)
k
⩾
1
=
(
E
k
−
1
)
−
(
E
k
)
{\displaystyle (R_{k})_{k\geqslant 1}=(E_{k-1})-(E_{k})}
est géométrique de raison
(
1
+
i
)
{\displaystyle (1+i)\qquad }
[ 2] ,
de 1er terme
R
1
=
E
0
−
E
1
=
A
−
I
1
=
a
E
0
−
i
E
0
=
(
a
−
i
)
E
{\displaystyle R_{1}=E_{0}-E_{1}=A-I_{1}=aE_{0}-iE_{0}=(a-i)E}
de n-ième terme
R
n
=
A
(
1
+
i
)
−
1
{\displaystyle R_{n}=A(1+i)^{-1}\qquad }
[ 3]
de k-ième terme
R
k
=
(
a
−
i
)
E
(
1
+
i
)
k
−
1
=
A
(
1
+
i
)
k
−
n
−
1
{\displaystyle R_{k}=(a-i)E(1+i)^{k-1}=A(1+i)^{k-n-1}}
C'est la (les) formule(s) des remboursements.
Elles permettent également de calculer
a
{\displaystyle a}
et
A
=
E
×
a
{\displaystyle A=E\times a}
∑
k
=
1
n
R
k
=
E
0
−
E
n
=
E
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}R_{k}=E_{0}-E_{n}=E}
∑
k
=
1
n
R
k
=
∑
k
=
1
n
(
a
−
i
)
E
(
1
+
i
)
k
−
1
=
E
⇒
(
a
−
i
)
∑
k
=
1
n
(
1
+
i
)
k
−
1
=
1
⇒
a
=
i
1
−
(
1
+
i
)
−
n
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}R_{k}=\sum _{k=1}^{n}(a-i)E(1+i)^{k-1}=E\Rightarrow (a-i)\sum _{k=1}^{n}(1+i)^{k-1}=1\Rightarrow a={\frac {i}{1-(1+i)^{-n}}}\qquad }
[ 4]
∑
k
=
1
n
R
k
=
∑
k
=
1
n
A
(
1
+
i
)
k
−
n
−
1
=
E
⇒
A
=
E
×
i
1
−
(
1
+
i
)
−
n
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}R_{k}=\sum _{k=1}^{n}A(1+i)^{k-n-1}=E\Rightarrow A=E\times {\frac {i}{1-(1+i)^{-n}}}\qquad }
[ 5]
Les annuités de placement
modifier
Calcul du capital à l'échéance
modifier
À l'inverse des annuités constantes d'amortissement d'emprunt il existe les annuités de placement, par exemple pour les épargnants qui versent à intervalle régulier une même somme d'argent pour constituer à l'échéance un capital plus important avec des intérêts composés .
Pour le capital constitué on a similairement au remboursement de l'emprunt
K
0
=
A
,
K
k
+
1
=
K
k
(
1
+
i
)
+
A
{\displaystyle K_{0}=A{\text{ , }}K_{k+1}=K_{k}(1+i)+A}
, ce qui permet de même de calculer l'annuité en fonction du montant du capital constitué visé en n périodes.
Périodes
Annuités
Capital constitué
0
A
{\displaystyle A}
K
0
=
A
{\displaystyle K_{0}=A}
1
A
{\displaystyle A}
K
1
=
A
(
1
+
i
)
+
A
{\displaystyle K_{1}=A(1+i)+A}
⠇
⠇
⠇
k
A
{\displaystyle A}
K
k
=
K
k
−
1
(
1
+
i
)
+
A
=
A
(
1
+
i
)
k
+
…
+
A
=
A
∑
p
=
0
k
(
1
+
i
)
p
=
A
(
1
+
i
)
k
+
1
−
1
i
{\displaystyle K_{k}=K_{k-1}(1+i)+A=A(1+i)^{k}+\ldots +A=A\sum _{p=0}^{k}(1+i)^{p}=A{\frac {(1+i)^{k+1}-1}{i}}}
⠇
⠇
⠇
Le versement de la dernière annuité n'ayant évidemment pas de sens le capital constitué en n périodes est
K
=
K
n
−
1
(
1
+
i
)
=
A
(
1
+
i
)
×
(
1
+
i
)
n
−
1
i
{\displaystyle K=K_{n-1}(1+i)=A(1+i)\times {\frac {(1+i)^{n}-1}{i}}}
Rappel sur le calcul des intérêts
modifier
Si Ko est le capital initial, i le taux d'intérêt, n le nombre de périodes, I le montant à échéance des intérêts et Kn le montant du capital à l'échéance, l'intérêt simple au bout des n années est
I
=
K
0
×
i
×
n
{\displaystyle I={K_{0}}\times {i}\times {n}}
, la valeur acquise de
K
n
=
K
0
+
(
K
0
×
i
×
n
)
=
K
0
(
1
+
i
×
n
)
{\displaystyle K_{n}=K_{0}+(K_{0}\times i\times n)=K_{0}(1+i\times n)}
.
Exemple :
K
0
{\displaystyle K_{0}}
= 30 000,
i
{\displaystyle i}
= 1 %,
n
{\displaystyle n}
= 10 . Alors :
I
{\displaystyle I}
= 30 000 x 0,01 x 10 = 3 000 ,
K
n
{\displaystyle K_{n}}
= 30 000 (1 + 0,01 x 10) = 33 000
Pour un intérêt composé l'intérêt vient se greffer au capital majoré des intérêts passés :
K
n
=
K
0
×
(
1
+
i
)
×
(
1
+
i
)
×
…
×
(
1
+
i
)
=
K
0
×
(
1
+
i
)
n
{\displaystyle K_{n}={K_{0}}\times {(1+i)}\times {(1+i)}\times \ldots \times {(1+i)}={K_{0}}\times {(1+i)}^{n}}
Avec les mêmes données que l'exemple précédent on obtient :
K
n
{\displaystyle K_{n}}
= 30 000 x 1,0110 = 33 138,66
Références et notes
modifier
Benjamin Legros, mini manuel de Mathématiques financières – Dunod mai 2011 , suites arithmético-géométriques p. 12 , remboursement par annuités constantes pp. 95-98
Alain Planche, Manuel Mathématiques pour économistes, 3ème ed° – Dunod janvier 2005 , suites arithmético-géométriques (parallèle avec équation différentielle 1er ordre) pp. 249-256
Gérard Chauvat, Alain Cholet, Yves Bouteillet, Mathématiques BTS/DUT Analyse – EdiScience juillet 2005 , suites arithmético-géométriques, point fixe p. 278
Robert Maéso, André Philips, Christian Raulet, Comptabilité financière, comptabilité générale – Dunod 2017 (Formule sans démonstration).
Dorothée Ansermino, Yves Virton (Auteur), La gestion pour les Nuls – Edition First-Gründ Paris septembre 2012 (Formule sans démonstration).
Aymric Kamega, « Introduction aux mathématiques financières », sur Euria (Euro-institut d'actuariat) , octobre 2014 , p. 13-17
« Exercices d'application et démonstration », sur apprendreeconomie.com
« Vidéo sur la démonstration de la formule pour l'annuité de placement »
↑
−
A
i
=
(
E
0
−
A
i
)
(
1
+
i
)
n
⇒
A
=
(
A
−
E
0
×
i
)
(
1
+
i
)
n
⇒
A
(
1
−
(
1
+
i
)
n
)
=
−
E
0
×
i
(
1
+
i
)
n
⇒
A
=
E
0
×
i
(
1
+
i
)
n
(
1
+
i
)
n
−
1
=
E
0
×
i
1
−
(
1
+
i
)
−
n
{\displaystyle -{\frac {A}{i}}=(E_{0}-{\frac {A}{i}})(1+i)^{n}\Rightarrow A=(A-E_{0}\times i)(1+i)^{n}\Rightarrow A(1-(1+i)^{n})=-E_{0}\times i(1+i)^{n}\Rightarrow A=E_{0}\times {\frac {i(1+i)^{n}}{(1+i)^{n}-1}}=E_{0}\times {\frac {i}{1-(1+i)^{-n}}}}
↑
R
k
+
1
=
E
k
−
E
k
+
1
=
E
k
−
1
(
1
+
i
)
−
A
−
E
k
(
1
+
i
)
+
A
=
(
E
k
−
1
−
E
k
)
(
1
+
i
)
=
R
k
(
1
+
i
)
{\displaystyle R_{k+1}=E_{k}-E_{k+1}=E_{k-1}(1+i)-A-E_{k}(1+i)+A=(E_{k-1}-E_{k})(1+i)=R_{k}(1+i)}
↑ La dernière annuité, le remboursement de l'emprunt
R
n
{\displaystyle R_{n}}
est égal à l'emprunt résiduel
E
n
−
1
{\displaystyle E_{n-1}}
d'où
A
=
R
n
(
1
+
i
)
{\displaystyle A=R_{n}(1+i)}
.
↑
∑
k
=
1
n
(
1
+
i
)
k
−
1
=
(
1
+
i
)
n
−
1
i
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(1+i)^{k-1}={\frac {(1+i)^{n}-1}{i}}}
, somme d'une suite géométrique .
(
a
−
i
)
×
(
1
+
i
)
n
−
1
i
=
1
⇒
a
=
i
(
1
+
i
)
n
(
1
+
i
)
n
−
1
=
i
1
−
(
1
+
i
)
−
n
{\displaystyle (a-i)\times {\frac {(1+i)^{n}-1}{i}}=1\Rightarrow a={\frac {i(1+i)^{n}}{(1+i)^{n}-1}}={\frac {i}{1-(1+i)^{-n}}}}
↑
∑
k
=
1
n
(
1
+
i
)
k
−
1
−
n
=
(
1
+
i
)
−
n
∑
k
=
0
n
−
1
(
1
+
i
)
k
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(1+i)^{k-1-n}=(1+i)^{-n}\sum _{k=0}^{n-1}(1+i)^{k}}
, idem.