11-cage de Balaban
La 11-cage de Balaban (ou (3-11)-cage de Balaban) est, en théorie des graphes, un graphe régulier possédant 112 sommets et 168 arêtes.
| 11-cage de Balaban | |
 Représentation de la 11-cage de Balaban | |
| Nombre de sommets | 112 |
|---|---|
| Nombre d'arêtes | 168 |
| Rayon | 6 |
| Diamètre | 8 |
| Maille | 11 |
| Automorphismes | 64 |
| Nombre chromatique | 3 |
| Indice chromatique | 3 |
| Propriétés | Cubique Cage Hamiltonien |
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Il porte le nom du mathématicien A. T. Balaban qui en a publié la description en 1973[1].
Propriétés modifier
Propriétés générales modifier
La 11-cage de Balaban est une (3,11)-cage, c'est-à-dire un graphe minimal en nombres de sommets ayant une maille de 11 et étant régulier de degrés 3. C'est en fait l'unique (3-11)-cage. Cette unicité a été prouvée par McKay et Myrvold en 2003[2].
Le diamètre de la 11-cage de Balaban, l'excentricité maximale de ses sommets, est 8, et son rayon, l'excentricité minimale de ses sommets, est 6. Il s'agit d'un graphe 3-sommet-connexe et d'un graphe 3-arête-connexe, c'est-à-dire qu'il est connexe et que pour le rendre déconnecté, il faut le priver au minimum de 3 sommets ou de 3 arêtes.
Coloration modifier
Le nombre chromatique de la 11-cage de Balaban est 3. C'est-à-dire qu'il est possible de le colorer avec 3 couleurs de telle façon que deux sommets reliés par une arête soient toujours de couleurs différentes mais ce nombre est minimal. Il n'existe pas de 2-coloration valide du graphe.
L'indice chromatique de la 11-cage de Balaban est 3. Il existe donc une 3-coloration des arêtes du graphe telles que deux arêtes incidentes à un même sommet soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.
Propriétés algébriques modifier
Le groupe d'automorphismes de la 11-cage de Balaban est un groupe d'ordre 64[3].
Le polynôme caractéristique de la 11-cage de Balaban est : .
Représentations modifier
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Représentation du nombre chromatique de la 11-cage de Balaban : 3. -
Représentation de l'indice chromatique de la 11-cage de Balaban : 3. -
![Représentation alternative du graphe[4].](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2d/Balaban_11-cage_alternative_drawing.svg/100px-Balaban_11-cage_alternative_drawing.svg.png)
Représentation alternative du graphe[4].
![Représentation alternative du graphe[4].](/wiki/Fichier:Balaban_11-cage_alternative_drawing.svg)
Voir aussi modifier
Liens internes modifier
Liens externes modifier
- (en) Balaban 11-cage (MathWorld)
Références modifier
- (en) A. T. Balaban, Trivalent Graphs of Girth Nine and Eleven and Relationships Among the Cages, Rev. Roumaine Math., 18, 1033-1043, 1973
- (en) « Cage Graph », MathWorld
- (en) Geoffrey Exoo & Robert Jajcay, Dynamic cage survey, Electr. J. Combin. 15 (2008)
- (en) P. Eades, J. Marks, P. Mutzel, S. North, Graph-Drawing Contest Report, Mitsubishi Electric Research Laboratories, TR98-16, 1998
