1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯

En mathématiques, la série infinie 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ est un exemple élémentaire d'une série géométrique qui converge absolument.

Les six premiers sommets dessinés en portions d'un carré.

La série géométrique sur la ligne réelle.

Sa somme est

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\right)^{n}={\frac {\frac {1}{2}}{1-{\frac {1}{2}}}}=1.$

Preuve directe

Comme pour toute série infinie, la somme infinie

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots$

est définie comme signifiant la limite de la somme des n termes

$s_{n}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n-1}}}+{\frac {1}{2^{n}}}$

Multiplier s_n par 2 révèle une relation utile :

$2s_{n}={\frac {2}{2}}+{\frac {2}{4}}+{\frac {2}{8}}+{\frac {2}{16}}+\cdots +{\frac {2}{2^{n}}}=1+\left[{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n-1}}}\right]=1+\left[s_{n}-{\frac {1}{2^{n}}}\right].$

En soustrayant s_n des deux côtés, on a

$s_{n}=1-{\frac {1}{2^{n}}}.$

Lorsque n tend vers l'infini, s_n tend vers 1.

Histoire

Cette série a été utilisée comme une représentation d'un des paradoxes de Zénon. Les parties de l'œil Oudjat ont été pensées autrefois pour représenter les six premiers termes de la série.

Voir aussi

• 0,999…
• Point de prolongation
• 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯
• 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯