État stationnaire (physique quantique)

En physique quantique comme dans le cas classique, un état stationnaire est un état qui n’évolue pas dans le temps. Cependant la description mathématique des états est un peu différente. Dans le cas d’un vecteur de norme 1 dans un espace de Hilbert, il peut y avoir un « changement de phase » (dans le sens multiplication par un nombre complexe de module 1). Par ailleurs, s’il est caractérisé par une fonction d’onde $\Psi (t)$ alors sa densité de probabilité $|\Psi (t)|^{2}$ est indépendante du temps.

Conditions suffisantes

Dans le cas d’un système isolé (opérateur hamiltonien indépendant du temps), les fonctions propres de l’opérateur hamiltonien sont toujours des états stationnaires.

Démonstration

Supposons dans l’absolu que la fonction d’onde du système considéré dépende du temps et de la position dans l’espace. Nous écrirons cette fonction d’onde $\psi ({\vec {x}},t)$.

L’équation de Schrödinger est : ${\hat {H}}\psi =i\hbar {\dfrac {\partial \psi }{\partial t}}$

où ${\hat {H}}$ est l’opérateur hamiltonien du système et ${\hat {E}}=i\hbar {\dfrac {\partial }{\partial t}}$ est l’opérateur énergie du système dans le schéma de Schrödinger, non relativiste.

L’opérateur hamiltonien non relativiste s’écrit ${\hat {H}}={\hat {T}}+{\hat {V}}({\vec {x}},t)$ avec ${\hat {V}}({\vec {x}},t)$ l’opérateur « énergie potentielle » et ${\hat {T}}=-{\dfrac {{\hbar }^{2}}{2m}}{{\nabla }^{2}}$ l’opérateur énergie cinétique où $m$ est la masse du système considéré.

L’énergie totale est l’énergie potentielle additionnée à l’énergie cinétique.

Dans le cas non perturbé, le système est isolé, et donc l’énergie potentielle est nulle car le système n’a pas d’interaction avec l’extérieur. Nous avons supposé que l’opérateur hamiltonien ne dépend pas du temps. L’équation de Schrödinger devient :

$-{\dfrac {{\hbar }^{2}}{2m}}{{\nabla }^{2}}\psi ({\vec {x}},t)=i\hbar {\dfrac {\partial \psi ({\vec {x}},t)}{\partial t}}$

Nous avons égalisé des dérivées spatiales avec des dérivées temporelles. On peut donc écrire la fonction d’onde comme un produit $\psi ({\vec {x}},t)=f({\vec {x}})g(t)$. L’équation devient alors

$-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2m}}g(t){\nabla }^{2}f({\vec {x}})=i\hbar f({\vec {x}}){\dfrac {\mathrm {d} g(t)}{\mathrm {d} t}}$

D’où une partie dépendant totalement du temps. On déduit

${\dfrac {g'(t)}{g(t)}}={\dfrac {i\hbar }{2m}}{\dfrac {\Delta f({\vec {x}})}{f({\vec {x}})}}$

La partie gauche ne dépend que du temps, tandis que la partie droite ne dépend que de l’espace. Nous en déduisons que ${\dfrac {g'(t)}{g(t)}}$ est une constante. L’équation différentielle à résoudre est donc du premier ordre $g'(t)=Kg(t)$ où $K$ est une constante. La solution d’une telle équation est nulle (sans intérêt) ou alors c’est que la fonction $g(t)$ est une fonction exponentielle. On pose $g(t)=\exp(-i{\dfrac {E}{\hbar }}t)$ et on obtient l’équation ${\dfrac {g'(t)}{g(t)}}=-i{\dfrac {E}{\hbar }}$. D’où l’équation

${\dfrac {i\hbar }{2m}}{\dfrac {\Delta f({\vec {x}})}{f({\vec {x}})}}=-i{\dfrac {E}{\hbar }}$

On en déduit la forme suivante :

$-{\dfrac {{\hbar }^{2}}{2m}}\Delta f({\vec {x}})={E}f({\vec {x}})$

Où l’on voit que l’énergie du système ne dépend pas du temps.

Résumons. Nous avons montré que dans l’hypothèse d’un hamiltonien non dépendant du temps, l’énergie du système ne dépend pas du temps. De plus la norme de la fonction d’onde au carré ne dépend pas du temps car $|\psi ({\vec {x}},t)|^{2}=|f({\vec {x}})|^{2}$.

En particulier, un vecteur propre d’une observable qui commute avec l’opérateur hamiltonien est un vecteur propre de l’opérateur hamiltonien.

Condition nécessaire

A contrario, si $\left|<\psi (t)|\psi (0)>\right|$ dépend du temps (où $|\psi (t)>$ est une famille de vecteurs unitaires), alors l’état n’est certainement pas stationnaire.