Équation de la force vive

En mécanique spatiale, l'équation de la force vive est une équation importante du mouvement de corps en orbite. C'est le résultat de la loi de conservation de l'énergie selon laquelle la somme des énergies cinétiques et potentielles est constante en tout point de l'orbite.

Équation de la force vive modifier

L'équation de la force vive^[1] est définie par :

v={\sqrt {GM\left({{2 \over {r}}-{1 \over {a}}}\right)}}

où :

$v\,\!$ est la vitesse relative des deux corps ;
$r\,\!$ est la distance entre les deux corps ;
$a\,\!$ est le demi-grand axe ;
$G\,\!$ est la constante gravitationnelle ;
$M$ est la masse du corps central.

Note : le produit $GM$ peut également être écrit sous la lettre μ. Toutefois, il ne faut pas confondre cette écriture de $GM$ avec la masse réduite μ, explicitée ci-dessous.

Démonstration modifier

L'énergie orbitale totale est la somme des énergies potentielles partagées et de l'énergie cinétique des deux corps considérés

E={\frac {-Gm_{1}m_{2}}{r}}+{\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}

$v_{1}\,\!$ est la vitesse du corps 1 relative au centre de gravité des deux corps.
$v_{2}\,\!$ est la vitesse du corps 2 relative au centre de gravité des deux corps.

L'énergie orbitale peut être calculée en utilisant seulement des quantités relatives

E={\frac {-Gm_{1}m_{2}}{r}}+\mu {\frac {v^{2}}{2}}

$v\,\!$ est la vitesse relative des deux corps.
$\mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}\!+\!m_{2}}}$ est la masse réduite.

Pour des orbites circulaire et elliptique, l'énergie totale est donnée de façon plus précise

E={\frac {-Gm_{1}m_{2}}{2a}}

.

La division du total de l'énergie par la masse réduite donne l'énergie vis viva, mieux connue aujourd'hui comme l'énergie orbitale spécifique

\epsilon ={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {G(m_{1}\!+\!m_{2})}{r}}

.

Pour les orbites circulaire et elliptique

\epsilon ={\frac {-G(m_{1}\!+\!m_{2})}{2a}}

.

Des précédentes équations, on obtient l'équation de la force vive :

v^{2}=G(m_{1}\!+\!m_{2})\left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)

.

Applications modifier

À partir de r et v en un point de l'orbite, il est possible de calculer r et v à n'importe quel autre point de l'orbite^[2].

De même, à partir de r et v en un point de l'orbite, l'énergie orbitale spécifique $\epsilon \,\!$ peut être calculée, ce qui permet de déterminer si un objet orbitant autour d'un autre plus gros a assez d'énergie pour rester en orbite.

Références modifier

↑ (en) T. Logsdon, Orbital Mechanics: theory and applications, John Wiley & Sons, 1998
↑ Pour le problème des trois corps, la conservation de l'énergie ne réduit que de 1 le nombre, plus grand, de degrés de liberté.

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Vis-viva equation » (voir la liste des auteurs).

Voir aussi modifier

Force vive

[1] (en) T. Logsdon, Orbital Mechanics: theory and applications, John Wiley & Sons, 1998

[2] Pour le problème des trois corps, la conservation de l'énergie ne réduit que de 1 le nombre, plus grand, de degrés de liberté.

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