Écart entre nombres premiers
En théorie des nombres, l'écart entre nombres premiers désigne la différence entre deux nombres premiers consécutifs.
De nombreux résultats et conjectures sont liés à cet objet. Par exemple la conjecture des nombres premiers jumeaux dit que la suite des écarts entre nombres premiers prend la valeur 2 un nombre infini de fois.
Ainsi les 30 premiers écarts (suite A001223 de l'OEIS) sont :
- 1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14.
Définition modifier
En notant pn le n-ième nombre premier, le n-ième écart est :
Ce qui permet aussi d'écrire
- .
Observations simples modifier
De même que , la suite (gn) est non bornée : si l'on note qn le produit p1…pn, tous les entiers de qn + 2 à qn + pn sont composés[1].
Le premier écart, qui est à la fois le plus petit et le seul écart impair est 1, entre le seul nombre premier pair, 2, et le premier nombre premier impair, 3. Tous les autres écarts sont pairs.
(3, 5, 7) est l'unique triplet de nombres premiers consécutifs dont l'écart est 2.
Résultats et conjectures modifier
D'après le postulat de Bertrand, gn < pn.
Le théorème des nombres premiers suggère que gn est[2] asymptotiquement de l'ordre de log n, et la conjecture de Cramér pronostique un comportement en le carré du logarithme[3]. La conjecture des nombres premiers jumeaux dit qu'elle prend la valeur 2 une infinité de fois.
L'écart le plus fréquent entre nombres premiers est d'abord 2, puis 6, et l'on conjecture que ce serait ensuite 30, 210, 2310, … c'est-à-dire les primorielles de pn[4].
Notes et références modifier
- G. H. Hardy et E. M. Wright (trad. de l'anglais par F. Sauvageot), Introduction à la théorie des nombres [« An Introduction to the Theory of Numbers »], Paris/Heidelberg, Vuibert-Springer, , 568 p. (ISBN 978-2-7117-7168-4), p. 6 et Édouard Lucas, Théorie des nombres, (lire en ligne), p. 359-361 (référence fournie par Hardy et Wright 2007, p. 12).
- Bruno Duchesne, « Deux grandes avancées autour des nombres premiers », sur Images des mathématiques, .
- (en) Harald Cramér, « On the order of magnitude of the difference between consecutive prime numbers », Acta Arithmetica, vol. 2, , p. 23-46.
- Jean-Paul Delahaye, « Premiers jumeaux : frères ennemis ? », Pour la science, no 260, , p. 7 (lire en ligne).
Voir aussi modifier
Article connexe modifier
Lien externe modifier
(en) Terence Tao, « Small and large gaps in the primes (slides) »,
